• Exercício 05 - Um circuito RLC em paralelo possui os seguintes parâmetros: \mathrm{R}=1 \Omega, \mathrm{L}=2 \mathrm{H} e \mathrm{C}=2 \mathrm{~F}. Calcule o quociente de amortecimento e a frequência natural não amortecida dessa rede.

Passo 1

O enunciado nos dá os parâmetros do circuito RLC em paralelo e pede dois valores. Informações fornecidas:
  • \mathrm{R}=1\\ \Omega.
  • \mathrm{L}=2\\ \mathrm{H}.
  • \mathrm{C}=2\\ \mathrm{F}.
O que o problema pede:
  • Calcular o quociente de amortecimento (denotado por \zeta).
  • Calcular a frequência natural não amortecida (denotada por \omega_n) desta rede.

Passo 2

Vamos escrever a equação diferencial do circuito para a tensão nodal v(t). Em paralelo, a soma das correntes pelas três ramas é zero. Chamando as correntes de i_R=\dfrac{v}{R}, i_C=C\,\dfrac{dv}{dt} e i_L (corrente no indutor), a equação de KCL é:
\frac{v}{R}+C\frac{dv}{dt}+i_L=0.
A relação tensão-corrente do indutor é \;v=L\frac{di_L}{dt}\;. Para eliminar i_L diferenciamos a equação de KCL em relação ao tempo e substituímos \dfrac{di_L}{dt}=\dfrac{v}{L}. Assim:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{v}{R}+C\frac{dv}{dt}+i_L\right)=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{R}\frac{dv}{dt}+C\frac{d^2v}{dt^2}+\frac{v}{L}=0.

Passo 3

Organizando a equação na forma padrão de um sistema de segunda ordem, dividimos por C:
\frac{d^2v}{dt^2}+\frac{1}{RC}\frac{dv}{dt}+\frac{1}{LC}v=0.
A forma canônica de uma equação de segunda ordem amortecida é
\frac{d^2x}{dt^2}+2\zeta\omega_n\frac{dx}{dt}+\omega_n^2 x=0,
onde:
  • \omega_n é a frequência natural não amortecida (em rad/s),
  • \zeta é o quociente de amortecimento (adimensional).
Comparando os coeficientes, obtemos as relações:
\omega_n^2=\frac{1}{LC} \qquad\text{e}\qquad 2\zeta\omega_n=\frac{1}{RC}.

Passo 4

Calcular \omega_n usando \omega_n=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}. Substituindo L=2 e C=2:
\omega_n=\frac{1}{\sqrt{2\cdot 2}}=\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}=\;0,5\\ \mathrm{rad/s}.
Comentário: \omega_n tem unidade de radiano por segundo; o cálculo é direto porque LC=4 dá raiz quadrada 2, invertendo dá 0,5.

Passo 5

Calcular \zeta. Usando \;2\zeta\omega_n=\dfrac{1}{RC}\; temos
\zeta=\frac{1}{2\omega_n R C}.
Substituindo \omega_n=0,5, R=1 e C=2:
\zeta=\frac{1}{2\cdot 0,5\cdot 1\cdot 2}=\frac{1}{2\cdot 0,5\cdot 2}=\frac{1}{2}=0,5.
Observação alternativa (mesma expressão, só para ver de outro jeito): \zeta=\dfrac{\sqrt{L/C}}{2R}. Com L=2 e C=2 isso dá \zeta=\dfrac{\sqrt{1}}{2\cdot 1}=0,5.

Passo 6

Interpretação rápida (para te dar confiança): como \zeta=0,5<1, o circuito é subamortecido — a resposta natural será oscilatória com uma frequência amortecida \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} (não pedida, apenas informação extra).

Resposta

Quociente de amortecimento: \zeta=0,5
Frequência natural não amortecida: \omega_n=0,5\\ \mathrm{rad/s}

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