Exercício 1. Classifique as afirmações abaixo estão em verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique a sua resposta.
Se \vec{u}=\overrightarrow{A B} e \vec{v}=\overrightarrow{C D} são colineares, então A B e C D pertencem a uma mesma reta.
Passo 1
O enunciado informa que \vec{u}=\overrightarrow{AB} e \vec{v}=\overrightarrow{CD} são colineares e pede para classificar a seguinte afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F), justificando a resposta: “então AB e CD pertencem a uma mesma reta.”
Passo 2
O que significa “vetores colineares”? Dois vetores \vec{u} e \vec{v} são colineares se existe um escalar k tal que
\vec{v}=k\,\vec{u}.
Isto quer dizer que os vetores têm a mesma direção (se k>0) ou direções opostas (se k<0). Se k=0 então \vec{v}=\vec{0}, o vetor nulo, que por convenção é considerado colinear com qualquer vetor. Em termos geométricos: colinearidade significa “paralelismo” de direções, não necessariamente que os segmentos estejam na mesma reta.
Passo 3
O que significa “os segmentos AB e CD pertencem a uma mesma reta”? Significa que a reta que passa por A e B é exatamente a mesma reta que passa por C e D. Em termos vetoriais, denotando por r_{AB} a reta suporte do segmento AB, isso significa que r_{AB}=r_{CD}. Note: duas retas podem ser paralelas e distintas, ou coincidir; colinearidade dos vetores só garante o caso “paralelas (mesma direção)”, não garante coincidência.
Passo 4
Construo um contraexemplo bem simples (isso basta para mostrar que a afirmação é falsa). Escolho coordenadas cartesianas:
A=(0,0) e B=(1,0). Então
\overrightarrow{AB} = (1,0).
C=(0,1) e D=(1,1). Então
\overrightarrow{CD} = (1,0).
Aqui \overrightarrow{CD}=1\cdot\overrightarrow{AB}, logo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{CD} são colineares. Mas os segmentos AB e CD estão em retas distintas: AB está na reta y=0 e CD está na reta y=1. Essas retas são paralelas e diferentes. Portanto a afirmação “então AB e CD pertencem a uma mesma reta” é falsa neste exemplo.
Passo 5
Explico a diferença de modo geral e dou um critério útil que serve na prova. Suponha que \vec{u}=\overrightarrow{AB} e \vec{v}=\overrightarrow{CD} com \vec{v}=k\vec{u} (k\neq0). Então as direções são paralelas; as retas r_{AB} e r_{CD} são paralelas. Para que as retas coincidam (ou seja, para que r_{AB}=r_{CD}), é preciso além da paralelidade que um ponto de uma reta pertença à outra reta. Em linguagem vetorial: r_{AB}=r_{CD} se, e somente se, o vetor \overrightarrow{AC} for colinear com \vec{u}; em símbolos,
r_{AB}=r_{CD}\quad\Longleftrightarrow\quad \overrightarrow{AC}=t\,\vec{u}\\ \text{ para algum escalar } t.
Se \overrightarrow{AC} não for colinear com \vec{u}, então as retas são distintas (paralelas) e os segmentos não pertencem à mesma reta. Isso mostra que colinearidade de \vec{u} e \vec{v} não é suficiente para garantir coincidência das retas — é apenas condição de paralelismo.
Passo 6
Menção aos casos degenerados (para estar completo): se um dos vetores for o vetor nulo, por exemplo \overrightarrow{AB}=\vec{0} (ou seja, A=B), então \overrightarrow{AB} é colinear com qualquer vetor, mas o “segmento” AB é um ponto — não faz sentido afirmar que esse ponto determina automaticamente a mesma reta que CD. Logo a afirmação é igualmente falsa ou, no mínimo, não garantida nesses casos.
Passo 7
Conclusão prática e motivação para a prova: sempre que em uma questão aparecer “vetores colineares”, lembre-se: isso garante apenas que as direções coincidem (paralelismo). Para concluir que dois segmentos ou suas retas suportes coincidem é preciso verificar também que um ponto de uma reta pertence à outra (por exemplo testando se \overrightarrow{AC} é colinear com \overrightarrow{AB}). Essa verificação é o passo extra que muitos esquecem na pressa da prova.