Resolva a equaçáo matricial em termos de a, b, c e d.
a. \left[\begin{array}{cc}a & 3 \\\\ -1 & a+b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4 & d-2 c \\\ d+2 c & -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para resolver a igualdade matricial e encontrar os valores de a, b, c e d. As matrizes dadas são:
\left[\begin{array}{cc}a & 3 \\\\ -1 & a+b\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}4 & d-2c \\\ d+2c & -2\end{array}\right].
O que se quer: determinar os números \,a,\;b,\;c,\;d\, que tornam as duas matrizes exatamente iguais.

Passo 2

Fato importante (definição que vamos usar): duas matrizes de mesma ordem são iguais se, e somente se, todos os elementos correspondentes são iguais. Ou seja, igualdade de matrizes equivale a um sistema de igualdades entre as entradas na mesma posição.

Passo 3

Aplicando essa definição às matrizes do enunciado obtemos quatro equações escalares, uma para cada posição (i,j):
\begin{cases} a = 4,\\[4pt] 3 = d - 2c,\\[4pt] -1 = d + 2c,\\[4pt] a + b = -2. \end{cases}]

Passo 4

Começando pelas equações mais simples: da primeira equação já vem
a = 4.
Substituindo esse valor na quarta equação a+b=-2 temos
4 + b = -2.
Isolando b,
b = -2 - 4 = -6.

Passo 5

Agora resolvemos o sistema das duas equações envolvendo c\) e \(d\): \[\begin{cases} d - 2c = 3,\\[4pt] d + 2c = -1. \end{cases}
Uma forma rápida é subtrair a segunda da primeira para eliminar d\]: \[(d - 2c) - (d + 2c) = 3 - (-1).\] O lado esquerdo vira \(-4c e o direito vira 4, então
-4c = 4 \quad\Rightarrow\quad c = -1.
Para achar d, substitui-se c=-1 em uma das equações, por exemplo d + 2c = -1:
d + 2(-1) = -1 \quad\Rightarrow\quad d - 2 = -1 \quad\Rightarrow\quad d = 1.]

Passo 6

Verificação rápida (colocar os valores nas duas matrizes):
\text{Esquerda}=\left[\begin{array}{cc}4 & 3 \\\\ -1 & 4+(-6)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4 & 3 \\\\ -1 & -2\end{array}\right], \qquad \text{Direita}=\left[\begin{array}{cc}4 & 1-2(-1) \\\\ 1+2(-1) & -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4 & 3 \\\\ -1 & -2\end{array}\right].
As duas matrizes coincidem, logo os valores encontrados estão corretos.

Resposta

a=4
b=-6
c=-1
d=1

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