Resolva a equaçáo matricial em termos de a, b, c e d.
a. \left[\begin{array}{cc}a & 3 \\\\ -1 & a+b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4 & d-2 c \\\ d+2 c & -2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para resolver a igualdade matricial e encontrar os valores de a, b, c e d. As matrizes dadas são:
O que se quer: determinar os números \,a,\;b,\;c,\;d\, que tornam as duas matrizes exatamente iguais.
Passo 2
Fato importante (definição que vamos usar): duas matrizes de mesma ordem são iguais se, e somente se, todos os elementos correspondentes são iguais. Ou seja, igualdade de matrizes equivale a um sistema de igualdades entre as entradas na mesma posição.
Passo 3
Aplicando essa definição às matrizes do enunciado obtemos quatro equações escalares, uma para cada posição (i,j):
\begin{cases} a = 4,\\[4pt] 3 = d - 2c,\\[4pt] -1 = d + 2c,\\[4pt] a + b = -2. \end{cases}]
Passo 4
Começando pelas equações mais simples: da primeira equação já vem
a = 4.
Substituindo esse valor na quarta equação a+b=-2 temos
4 + b = -2.
Isolando b,
b = -2 - 4 = -6.
Passo 5
Agora resolvemos o sistema das duas equações envolvendo c\) e \(d\):
\[\begin{cases} d - 2c = 3,\\[4pt] d + 2c = -1. \end{cases}
Uma forma rápida é subtrair a segunda da primeira para eliminar d\]:
\[(d - 2c) - (d + 2c) = 3 - (-1).\]
O lado esquerdo vira \(-4c e o direito vira 4, então
-4c = 4 \quad\Rightarrow\quad c = -1.
Para achar d, substitui-se c=-1 em uma das equações, por exemplo d + 2c = -1:
d + 2(-1) = -1 \quad\Rightarrow\quad d - 2 = -1 \quad\Rightarrow\quad d = 1.]
Passo 6
Verificação rápida (colocar os valores nas duas matrizes):