Exercício 1. Classifique as afirmações abaixo estão em verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique a sua resposta.
Se A, B e C não pertencem a uma mesma reta, então \overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B} e \overrightarrow{O C} são não coplanares.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte afirmação a ser classificada como verdadeira (V) ou falsa (F) e justificada:
Dado que A,B,C não pertencem a uma mesma reta (ou seja, os três pontos não são colineares), então as três posições vetoriais \overrightarrow{OA},\\ \overrightarrow{OB},\\ \overrightarrow{OC} são não coplanares.
Informações relevantes fornecidas:
Os pontos A,B,C são não colineares.
O é um ponto fixo (a origem) e consideramos os vetores posição \overrightarrow{OA},\\ \overrightarrow{OB},\\ \overrightarrow{OC}.
O que o enunciado pede:
Decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa.
Fornecer justificativa completa (provar ou dar contraexemplo e explicar).
Passo 2
Entendendo bem os conceitos (aula rápida e intuitiva):
Um conjunto de vetores é coplanar se todos eles estão contidos em um mesmo plano. Para vetores aplicados na origem (vetores posição), isso significa: existem dois vetores \mathbf{u},\mathbf{v} tais que todo vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear \alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v}.
Três vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} em \mathbb{R}^3 são coplanares se e somente se o produto misto (produto triple) for zero:
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) = 0.
O produto misto pode ser calculado como determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores:
Se esse determinante for nulo, os três vetores são coplanares; se for não nulo, eles são linearmente independentes e, portanto, não coplanares.]
Passo 3
Estratégia para decidir a veracidade da afirmação:
Para provar que a afirmação é verdadeira teria que derivar, a partir da não colinearidade de A,B,C, que necessariamente \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC} são não coplanares — ou seja, que o produto misto correspondente é sempre diferente de zero.
Para mostrar que é falsa basta encontrar um contraexemplo: escolher pontos A,B,C não colineares tais que os vetores posição \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC} sejam coplanares (produto misto zero). Um contraexemplo constrói-se escolhendo A,B,C que formem um triângulo contido em um plano que passe pela origem O — nesse caso os vetores posição estarão todos nesse mesmo plano através da origem e serão, portanto, coplanares.
Passo 4
Construindo um contraexemplo concreto (fácil de visualizar e calcular):
Escolher O=(0,0,0) e os pontos
A=(1,0,0),\qquad B=(0,1,0),\qquad C=(1,1,0).
Verificar primeiro que A,B,C não são colineares:
Vetor \overrightarrow{AB}=B-A = (-1,1,0).
Vetor \overrightarrow{AC}=C-A = (0,1,0).
Se \overrightarrow{AB} fosse múltiplo de \overrightarrow{AC}, haveria \lambda tal que (-1,1,0)=\lambda(0,1,0). Isso exigiria -1=\lambda\cdot 0, o que é impossível. Portanto \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são colineares, logo os pontos A,B,C não são colineares (formam um triângulo no plano z=0).
Passo 5
Agora verificar a coplanaridade dos vetores posição \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}:
Como a terceira coluna é toda zerada, esse determinante vale 0. Portanto o produto misto é 0, e os três vetores são coplanares.
Geometricamente: todos os três vetores têm componente z=0, ou seja, estão contidos no plano z=0 que passa pela origem — portanto são coplanares.]
Passo 6
Conclusão lógica com explicação curta e intuitiva:
O contraexemplo mostra que é possível ter três pontos A,B,C não colineares (formando um triângulo) e ainda assim as posições vetoriais \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC} serem coplanares (por exemplo, quando A,B,C estão num plano que passa por O). Assim a afirmação do enunciado é falsa em geral.
Observação útil para a prova: a condição necessária e suficiente para que \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC} sejam não coplanares é que os pontos O,A,B,C não sejam coplanares (ou seja, que a tetraedro formado por esses quatro pontos tenha volume não nulo). A não colinearidade apenas entre A,B,C não garante nada sobre a posição de O em relação ao plano determinado por A,B,C.