Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(3,1,3),(-4,-1,-5)\} \text { e } \\\ M=\operatorname{span}\{(-2,4,1)\} . \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(1, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) 5

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • H=\operatorname{span}\{(3,1,3),(-4,-1,-5)\}.
    • M=\operatorname{span}\{(-2,4,1)\}.
  • O enunciado pede: encontrar o único vetor \vec{x} que pertence a M^{\perp}\cap H e que tem a forma \vec{x}=(1,x_{2},x_{3}).
  • Informação equivalente que usaremos:
    • Pertencer a H significa que existem escalares a e b tais que \vec{x}=a(3,1,3)+b(-4,-1,-5).
    • Pertencer a M^{\perp} significa que \vec{x} é ortogonal a todo vetor de M. Como M é gerado por (-2,4,1), basta exigir \vec{x}\cdot(-2,4,1)=0.

Passo 2

Representar \vec{x}\in H com parâmetros a,b.
Se \vec{x}\in H então existem a,b\in\mathbb{R} tais que
\vec{x}=a(3,1,3)+b(-4,-1,-5).
Descrevendo coordenadas:
\vec{x}=(3a-4b,\;a-b,\;3a-5b).

Passo 3

Impor que \vec{x} tem primeira coordenada igual a 1.
Pelo enunciado devemos ter \vec{x}=(1,x_{2},x_{3}), portanto a primeira coordenada fornece a equação
3a-4b=1.

Passo 4

Impor a condição de ortogonalidade a M.
A condição \vec{x}\in M^{\perp} é \vec{x}\cdot(-2,4,1)=0. Escrevendo a operação:
-2 x_{1}+4 x_{2}+x_{3}=0.
Como x_{1}=1, isso vira
-2\cdot 1 + 4 x_{2} + x_{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad 4 x_{2} + x_{3}=2.

Passo 5

Expressar x_{2} e x_{3} em termos de a e b e substituir na condição de ortogonalidade.
Das coordenadas em termos de a,b (Passo 2) temos:
x_{2}=a-b,\qquad x_{3}=3a-5b.
Substituindo em 4 x_{2}+x_{3}=2 :
4(a-b)+(3a-5b)=2.
Simplificando:
4a-4b+3a-5b=2 \quad\Longrightarrow\quad 7a-9b=2.

Passo 6

Resolver o sistema linear para [a) e b.
Temos o sistema
\begin{cases} 3a-4b=1,\\[4pt] 7a-9b=2. \end{cases}
Podemos eliminar a\]. Multiplicando a primeira por \[7 e a segunda por 3 obtemos
\begin{cases} 21a-28b=7,\\[4pt] 21a-27b=6. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira:
(21a-28b)-(21a-27b) = -b = 1 \quad\Longrightarrow\quad b=-1.
Substituindo em (3a-4b=1]:
3a-4(-1)=1 \quad\Longrightarrow\quad 3a+4=1 \quad\Longrightarrow\quad 3a=-3 \quad\Longrightarrow\quad a=-1.]

Passo 7

Calcular x_{2} e x_{3} usando a=-1 e b=-1.
Usando as fórmulas
x_{2}=a-b = -1 -(-1)=0,
x_{3}=3a-5b = 3(-1)-5(-1) = -3+5=2.

Passo 8

Verificação rápida (sanity check).
O vetor encontrado é \vec{x}=(1,0,2).
  • Está em H porque foi escrito como combinação linear com a=b=-1: -1(3,1,3) +(-1)(-4,-1,-5) = (1,0,2).
  • Está em M^{\perp} porque (1,0,2)\cdot(-2,4,1) = -2 + 0 + 2 = 0.
Tudo confere.

Resposta

(E) 2

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