Q18: Considere os subespaços de
:
Encontre o único vetor
da forma
. O valor de
é:
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) 5
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) 5
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e pede.
- Dados (pegos do enunciado):
-
. -
.
-
- O enunciado pede: encontrar o único vetor
que pertence a e que tem a forma . - Informação equivalente que usaremos:
- Pertencer a
significa que existem escalares e tais que . - Pertencer a
significa que é ortogonal a todo vetor de . Como é gerado por , basta exigir .
- Pertencer a
Passo 2
Representar
com parâmetros
.
Se
então existem
tais que
Descrevendo coordenadas:
Passo 3
Impor que
tem primeira coordenada igual a
.
Pelo enunciado devemos ter
, portanto a primeira coordenada fornece a equação
Passo 4
Impor a condição de ortogonalidade a
.
A condição
é
. Escrevendo a operação:
Como
, isso vira
Passo 5
Expressar
e
em termos de
e
e substituir na condição de ortogonalidade.
Das coordenadas em termos de
(Passo 2) temos:
Substituindo em
:
Simplificando:
Passo 6
Resolver o sistema linear para [a) e
.
Temos o sistema
Podemos eliminar
e a segunda por
obtemos
Subtraindo a segunda da primeira:
Substituindo em (3a-4b=1]:
]
Passo 7
Calcular
e
usando
e
.
Usando as fórmulas
Passo 8
Verificação rápida (sanity check).
O vetor encontrado é
.
- Está em
porque foi escrito como combinação linear com : - Está em
porque
Tudo confere.
Resposta
(E)