Exercício 1. Classifique as afirmações abaixo estão em verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique a sua resposta.
Dois vetores não colineares são sempre coplanares.
Dois vetores não colineares são sempre coplanares.
Passo 1
O enunciado pede que classifiquemos se a afirmação abaixo é verdadeira (V) ou falsa (F) e que justifiquemos:
- Afirmação: “Dois vetores não colineares são sempre coplanares.”
Informações dadas: - Há dois vetores quaisquer, digamos
e . - Sabemos que
e NÃO são colineares (ou seja, um não é múltiplo escalar do outro).
O que precisamos decidir: a afirmação é verdadeira ou falsa, com justificativa passo a passo.
Passo 2
Definições básicas (explicadas devagarinho):
- Colinearidade: dois vetores
e são colineares se existe um escalar tal que . Em palavras: um é apenas um múltiplo do outro, eles “apontam” na mesma ou na direção oposta. - Coplanaridade (no sentido usual): dois vetores são coplanares se existe um plano que contém ambos os vetores. Quando trabalhamos com vetores colocados na origem (vetores livres representados como setas a partir da origem), isso significa que há um subespaço de dimensão 2 (uma “plano através da origem”) que contém ambos.
Passo 3
Ligando não-colinearidade a independência linear (passo importante, sem pular):
- Dois vetores
e são linearmente independentes exatamente quando não são colineares.
Prova curta dessa equivalência:- Se fossem linearmente dependentes, existiriam escalares
, nem ambos zero, com . Se, por exemplo, , rearranjando fica (ou análogo), ou seja, um é múltiplo do outro: colinearidade. - Reciprocamente, se
então mostra dependência linear.
- Se fossem linearmente dependentes, existiriam escalares
- Conclusão prática: como nos disseram que
e NÃO são colineares, então eles são linearmente independentes.
Passo 4
O que significa serem linearmente independentes no sentido geométrico:
- Considere o conjunto de todas as combinações lineares de
e : - Se
e são linearmente independentes, então tem dimensão . Um subespaço de dimensão é, exatamente, um plano (no sentido de subespaço linear) que passa pela origem. - Os próprios vetores
e pertencem a esse conjunto (basta escolher para e para ). Logo, ambos estão contidos nesse plano de dimensão .
Passo 5
Interpretação e exemplos concretos (para fixar a ideia):
- Em
: se e , eles não são colineares e geram o plano ; portanto são coplanares. - Em
ou em espaços de dimensão superior: embora não possamos “ver” o plano tão facilmente, a mesma definição vale — existe um subespaço de dimensão (uma “plano” abstrato) que contém e . Assim, a noção de coplanaridade se estende: quaisquer dois vetores não colineares pertencem a algum plano bidimensional. - Observação sobre o vetor nulo: o vetor
é colinear com qualquer vetor (porque ), então o caso com vetor nulo não entra em conflito com a hipótese “não colineares”.
Passo 6
Conclusão lógica final e resumo curto:
- Como dois vetores não colineares são linearmente independentes, o espaço gerado por eles tem dimensão
, ou seja, é um plano que contém ambos. Portanto a afirmação é verdadeira.
Resposta
Verdadeiro.