Exercício 1. Classifique as afirmações abaixo estão em verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique a sua resposta.
Dois vetores não colineares são sempre coplanares.

Passo 1

O enunciado pede que classifiquemos se a afirmação abaixo é verdadeira (V) ou falsa (F) e que justifiquemos:
  • Afirmação: “Dois vetores não colineares são sempre coplanares.”
    Informações dadas:
  • Há dois vetores quaisquer, digamos \mathbf{v} e \mathbf{w}.
  • Sabemos que \mathbf{v} e \mathbf{w} NÃO são colineares (ou seja, um não é múltiplo escalar do outro).
    O que precisamos decidir: a afirmação é verdadeira ou falsa, com justificativa passo a passo.

Passo 2

Definições básicas (explicadas devagarinho):
  • Colinearidade: dois vetores \mathbf{v} e \mathbf{w} são colineares se existe um escalar \lambda tal que \mathbf{v}=\lambda\mathbf{w}. Em palavras: um é apenas um múltiplo do outro, eles “apontam” na mesma ou na direção oposta.
  • Coplanaridade (no sentido usual): dois vetores são coplanares se existe um plano que contém ambos os vetores. Quando trabalhamos com vetores colocados na origem (vetores livres representados como setas a partir da origem), isso significa que há um subespaço de dimensão 2 (uma “plano através da origem”) que contém ambos.

Passo 3

Ligando não-colinearidade a independência linear (passo importante, sem pular):
  • Dois vetores \mathbf{v} e \mathbf{w} são linearmente independentes exatamente quando não são colineares.
    Prova curta dessa equivalência:
    • Se fossem linearmente dependentes, existiriam escalares a,b, nem ambos zero, com a\mathbf{v}+b\mathbf{w}=\mathbf{0}. Se, por exemplo, b\neq0, rearranjando fica \mathbf{v}=(-b/a)\mathbf{w} (ou análogo), ou seja, um é múltiplo do outro: colinearidade.
    • Reciprocamente, se \mathbf{v}=\lambda\mathbf{w} então \mathbf{v}-\lambda\mathbf{w}=\mathbf{0} mostra dependência linear.
  • Conclusão prática: como nos disseram que \mathbf{v} e \mathbf{w} NÃO são colineares, então eles são linearmente independentes.

Passo 4

O que significa serem linearmente independentes no sentido geométrico:
  • Considere o conjunto de todas as combinações lineares de \mathbf{v} e \mathbf{w}: \mathrm{span}\{\mathbf{v},\mathbf{w}\}=\{\alpha\mathbf{v}+\beta\mathbf{w}\mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\}.
  • Se \mathbf{v} e \mathbf{w} são linearmente independentes, então \mathrm{span}\{\mathbf{v},\mathbf{w}\} tem dimensão 2. Um subespaço de dimensão 2 é, exatamente, um plano (no sentido de subespaço linear) que passa pela origem.
  • Os próprios vetores \mathbf{v} e \mathbf{w} pertencem a esse conjunto (basta escolher (\alpha,\beta)=(1,0) para \mathbf{v} e (0,1) para \mathbf{w}). Logo, ambos estão contidos nesse plano de dimensão 2.

Passo 5

Interpretação e exemplos concretos (para fixar a ideia):
  • Em \mathbb{R}^{3}: se \mathbf{v}=(1,0,0) e \mathbf{w}=(0,1,0), eles não são colineares e geram o plano xy; portanto são coplanares.
  • Em \mathbb{R}^{4} ou em espaços de dimensão superior: embora não possamos “ver” o plano tão facilmente, a mesma definição vale — existe um subespaço de dimensão 2 (uma “plano” abstrato) que contém \mathbf{v} e \mathbf{w}. Assim, a noção de coplanaridade se estende: quaisquer dois vetores não colineares pertencem a algum plano bidimensional.
  • Observação sobre o vetor nulo: o vetor \mathbf{0} é colinear com qualquer vetor (porque \mathbf{0}=0\cdot\mathbf{v}), então o caso com vetor nulo não entra em conflito com a hipótese “não colineares”.

Passo 6

Conclusão lógica final e resumo curto:
  • Como dois vetores não colineares são linearmente independentes, o espaço gerado por eles tem dimensão 2, ou seja, é um plano que contém ambos. Portanto a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro.

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