Exercício 1. Classifique as afirmações abaixo estão em verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique a sua resposta.
Três pontos não pertencentes a uma mesma reta determinam dois vetores não colineares.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar. A afirmação é: “Três pontos não pertencentes a uma mesma reta determinam dois vetores não colineares.”
Informações dadas:
  • Existem três pontos distintos A,B,C.
  • Esses três pontos não pertencem a uma mesma reta (ou seja, são não colineares).
    O que se pede: decidir se, a partir desses três pontos, é sempre possível obter dois vetores que não sejam colineares, e justificar a resposta.

Passo 2

Definições úteis (explicadas devagar, como numa prova):
  • Vetor determinado por dois pontos: para pontos P e Q, o vetor \vec{PQ} é o deslocamento de P até Q. Em coordenadas, se P tem posição \vec{p} e Q tem posição \vec{q}, então \vec{PQ}=\vec{q}-\vec{p}. O vetor tem direção, sentido e módulo.
  • Vetores colineares: dois vetores \vec{u} e \vec{v} são colineares se estão sobre a mesma reta de direção, isto é, se existe um escalar \lambda tal que \vec{u}=\lambda\vec{v}. Geometricamente significa que um é paralelo ao outro (podendo ter mesmo ou sentido oposto).

Passo 3

Estratégia para a justificativa: a maneira mais direta é escolher um dos pontos como origem para formar dois vetores a partir dele e mostrar que esses dois vetores não podem ser colineares sob a hipótese de que os três pontos são não colineares. Uma escolha natural: formar \vec{AB} e \vec{AC}.

Passo 4

Prova por contradição (passo a passo):
  • Considere os três pontos A,B,C não colineares e os vetores \vec{AB} e \vec{AC}.
  • Suponha, para obter uma contradição, que \vec{AB} e \vec{AC} sejam colineares. Então existe um \lambda\in\mathbb{R} tal que \vec{AB}=\lambda\vec{AC}.
  • Em termos de posições, escrevendo \vec{AB}=\vec{b}-\vec{a} e \vec{AC}=\vec{c}-\vec{a}, a igualdade fica
\vec{b}-\vec{a}=\lambda(\vec{c}-\vec{a}).
  • Reescrevendo,
\vec{b}=(1-\lambda)\vec{a}+\lambda\vec{c}.
  • Essa expressão mostra que o ponto B é combinação afim de A e C, ou seja, B pertence à reta que passa por A e C. Geometricamente, se os vetores a partir de A são colineares, então B está na mesma reta que A e C.
  • Mas isso contradiz a hipótese de que A,B,C são não colineares. Logo a suposição de que \vec{AB} e \vec{AC} são colineares é falsa.

Passo 5

Conclusão lógica: da contradição segue que \vec{AB} e \vec{AC} não são colineares. Portanto, a partir de três pontos não pertencentes a uma mesma reta é sempre possível determinar (por exemplo, \vec{AB} e \vec{AC}) dois vetores não colineares.

Resposta

V

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