Exercício 1. Classifique as afirmações abaixo estão em verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique a sua resposta.
Três pontos não pertencentes a uma mesma reta determinam dois vetores não colineares.
Três pontos não pertencentes a uma mesma reta determinam dois vetores não colineares.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar. A afirmação é: “Três pontos não pertencentes a uma mesma reta determinam dois vetores não colineares.”
Informações dadas:
Informações dadas:
- Existem três pontos distintos
. - Esses três pontos não pertencem a uma mesma reta (ou seja, são não colineares).
O que se pede: decidir se, a partir desses três pontos, é sempre possível obter dois vetores que não sejam colineares, e justificar a resposta.
Passo 2
Definições úteis (explicadas devagar, como numa prova):
- Vetor determinado por dois pontos: para pontos
e , o vetor é o deslocamento de até . Em coordenadas, se tem posição e tem posição , então . O vetor tem direção, sentido e módulo. - Vetores colineares: dois vetores
e são colineares se estão sobre a mesma reta de direção, isto é, se existe um escalar tal que . Geometricamente significa que um é paralelo ao outro (podendo ter mesmo ou sentido oposto).
Passo 3
Estratégia para a justificativa: a maneira mais direta é escolher um dos pontos como origem para formar dois vetores a partir dele e mostrar que esses dois vetores não podem ser colineares sob a hipótese de que os três pontos são não colineares. Uma escolha natural: formar
e
.
Passo 4
Prova por contradição (passo a passo):
- Considere os três pontos
não colineares e os vetores e . - Suponha, para obter uma contradição, que
e sejam colineares. Então existe um tal que . - Em termos de posições, escrevendo
e , a igualdade fica
- Reescrevendo,
- Essa expressão mostra que o ponto
é combinação afim de e , ou seja, pertence à reta que passa por e . Geometricamente, se os vetores a partir de são colineares, então está na mesma reta que e . - Mas isso contradiz a hipótese de que
são não colineares. Logo a suposição de que e são colineares é falsa.
Passo 5
Conclusão lógica: da contradição segue que
e
não são colineares. Portanto, a partir de três pontos não pertencentes a uma mesma reta é sempre possível determinar (por exemplo,
e
) dois vetores não colineares.
Resposta
V