Exercício 6. Classifique as seguintes E.D.O., indique todos os possíveis métodos de resolução e resolva por um deles:
(x+1)^2 y^prime=6-4 x y-4 y

Passo 1

O enunciado dá a E.D.O. de primeira ordem
(x+1)^2,y' = 6 - 4x,y - 4y,
e pede para classificá-la, indicar todos os métodos possíveis e resolver por um deles. O conteúdo é equações lineares de 1ª ordem, e precisaremos usar forma padrão e fator integrante.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por (x+1)^2 e escrevendo 6 -4x,y -4y = 6 -4y(x+1), obtemos a forma padrão
dydx = 6(x+1)^2 - 4x+1,y,
ou seja
dydx + 4x+1,y = 6(x+1)^2

Passo 3

Classificação e métodos possíveis:
  • É de primeira ordem, linear, não homogênea.
  • Não é separável.
  • Pode ser resolvida por fator integrante.
  • Poderíamos também usar substituição u=x+1 para simplificar, mas o caminho via fator integrante é direto.

Passo 4

O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral 4x+1,dxr) = expl(4ln|x+1|r)=(x+1)^4
(considerando x+1neq0).

Passo 5

Multiplicando a equação por (x+1)^4 vem
(x+1)^4dydx + 4(x+1)^3,y = 6(x+1)^2,
que é equivalente a
ddxl((x+1)^4yr)=6(x+1)^2

Passo 6

Integrando ambos os lados em x:
(x+1)^4y = integral 6(x+1)^2,dx = 2(x+1)^3 + C,
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y = 2(x+1)^3 + C(x+1)^4 = 2x+1 + C(x+1)^4,
onde C é a constante de integração.

Resposta

y(x)=2x+1 + C(x+1)^4,
com C constante arbitrária.

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