Q 36 Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
integral 1x raiz9-x^2 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 1x raiz9 - x^2,dx
usando substituição trigonométrica. Vamos usar a substituição que aproveita a forma raiza^2 - x^2, ou seja, x=3sintheta.

Passo 2

Fazendo x = 3sintheta temos
dx = 3costheta,dtheta, raiz9 - x^2 = raiz9 - 9sin^2theta = 3costheta
Substituindo na integral original,
integral 1x raiz9 - x^2,dx = integral 1(3sintheta),(3costheta),(3costheta,dtheta)

Passo 3

Simplificando o integrando:
1(3sintheta)(3costheta),(3costheta) = 3costheta9sinthetacostheta = 13,csctheta
Logo a integral fica
integral 1x raiz9 - x^2,dx = 13integral csctheta,dtheta

Passo 4

Usamos a primitiva conhecida
integral csctheta,dtheta = -lnl|csctheta + cotthetar| + C
Portanto
13integral csctheta,dtheta = -13lnl|csctheta + cotthetar| + C

Passo 5

Voltando a variável x:
csctheta = 1sintheta = 3x, cottheta = costhetasintheta = raiz9 - x^2/3x/3 = raiz9 - x^2x
Assim
csctheta + cottheta = 3x + raiz9 - x^2x = 3 + raiz9 - x^2x
Logo a integral original é
-13ln!l|3 + raiz9 - x^2xr| + C

Resposta

boxed integral 1x raiz9 - x^2,dx = -13ln!l|3 + raiz9 - x^2xr| + C

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