Encontre a transformada de Laplace inversa de cada função a seguir.
F(s)=3 s-2s^3(s^2+4)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=3s-2s^3(s^2+4)
O conteúdo principal é decomposição em frações parciais seguida do uso de transformadas inversas conhecidas.

Passo 2

Vamos escrever a forma de fração parcial apropriada, pois o denominador fatora como s^3(s^2+4). Propomos
F(s)=As+Bs^2+Cs^3+Ds+Es^2+4

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por s^3(s^2+4) obtemos a identidade em s:
3s - 2 = A,s^2(s^2+4) + B,s(s^2+4) + C,(s^2+4) + (Ds+E),s^3
Expandindo e coletando em potências de s:
3s - 2 = (A+D),s^4 + (B+E),s^3 + (4A + C),s^2 + 4B,s + 4C

Passo 4

Igualando coeficientes de cada potência de s ao polinômio 3s-2=0cdot s^4+0cdot s^3+0cdot s^2+3cdot s+(-2), temos o sistema
A + D = 0, B + E = 0, 4A + C = 0, 4B = 3, 4C = -2

Passo 5

Resolvendo:
B = 34, C = -12, 4A + (-tfrac12)=0implies A=tfrac18,
D = -A = -tfrac18, E = -B = -tfrac34

Passo 6

Substituindo em F(s):
F(s)=1/8s+3/4s^2-1/2s^3 -1/8,s+3/4s^2+4
Agora aplicamos transformadas inversas termo a termo usando
L^-1ltfrac1sr=1, L^-1ltfrac1s^2r=t, L^-1ltfrac1s^3r=tfract^22,
L^-1ltfracss^2+4r=cos(2t), L^-1ltfrac1s^2+4r=tfrac12sin(2t)

Passo 7

Somando tudo:
f(t)=18cdot1+34,t-12cdott^22 -18cos(2t)-34cdot12sin(2t)
Simplificando:
f(t)=18+34,t-t^24-18cos(2t)-38sin(2t)

Resposta

f(t)=18+34,t-t^24 -18cos(2t)-38sin(2t)

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