Exercício 6. Classifique as seguintes E.D.O., indique todos os possíveis métodos de resolução e resolva por um deles:
x^2(cos x-y)-y^2+(2 x y-x^3) y^prime=0.

Passo 1

O enunciado dá a E.D.O. de primeira ordem
x^2(cos x - y);-;y^2;+;(2xy - x^3),y' = 0
e pede que a classifiquemos, indiquemos métodos possíveis e resolvamos por um deles.
Conteúdo: equações de primeira ordem, exatidão e fator integrante. Vamos escrever no formato diferencial
M(x,y) + N(x,y),y' = 0
e testar exatidão ou fator integrante.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = x^2(cos x - y) - y^2, N(x,y) = 2xy - x^3
Para ver se é exata, calculamos
partial Mpartial y = -,x^2-2y, partial Npartial x = 2y - 3x^2,
e vemos que não são iguais. Então não é exata sem fator integrante.

Passo 3

Testamos se há fator integrante mu dependente só de x. Usamos a condição
partial Mpartial y - partial Npartial xN ;=; função só de x çãó
Substituindo,
(-x^2-2y);-;(2y-3x^2)2xy - x^3 = 2x^2-4yx(2y - x^2) = -2x
Como isso depende apenas de x, existe mu(x) satisfazendo
mu'(x)mu(x) = -2x Longrightarrow mu(x) = e^integral -2/x,dx = x^-2

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=x^-2. Os novos coeficientes são
widetilde M = Mx^2 = cos x - y - y^2x^2, widetilde N = Nx^2 = 2yx - x
Verificamos exatidão:
partial widetilde Mpartial y = -1 - 2yx^2, partial widetilde Npartial x = -1 - 2yx^2,
logo são iguais, e a equação fica exata.

Passo 5

Como agora é exata, existe Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = widetilde M, partial Psipartial y = widetilde N
Integramos widetilde M em relação a x:
Psi(x,y) = integral!l(cos x - y - y^2x^-2r),dx = sin x ;-; x,y ;+; y^2x ;+; h(y)
Para achar h(y), impomos
partial Psipartial y = -x + 2yx + h'(y) = widetilde N = -x + 2yx,
logo h'(y)=0 e h é constante.

Passo 6

A solução implícita é
Psi(x,y) = sin x - x,y + y^2x = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

boxedsin x - x,y + y^2x = C

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