Exercício 6. Classifique as seguintes E.D.O., indique todos os possíveis métodos de resolução e resolva por um deles:
.
Passo 1
O enunciado dá a E.D.O. de primeira ordem
e pede que a classifiquemos, indiquemos métodos possíveis e resolvamos por um deles.
Conteúdo: equações de primeira ordem, exatidão e fator integrante. Vamos escrever no formato diferencial
Conteúdo: equações de primeira ordem, exatidão e fator integrante. Vamos escrever no formato diferencial
e testar exatidão ou fator integrante.
Passo 2
Identificamos
Para ver se é exata, calculamos
e vemos que não são iguais. Então não é exata sem fator integrante.
Passo 3
Testamos se há fator integrante
dependente só de
. Usamos a condição
Substituindo,
Como isso depende apenas de
, existe
satisfazendo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Os novos coeficientes são
Verificamos exatidão:
logo são iguais, e a equação fica exata.
Passo 5
Como agora é exata, existe
tal que
Integramos
em relação a
:
Para achar
, impomos
logo
e
é constante.
Passo 6
A solução implícita é
com
constante arbitrária.