Exercício 5. Dada a EDOLH e uma solução, determine uma segunda solução L.I., utilizando o método de D’Alembert, e indique a solução geral da EDO.
x y^prime prime-(1+4 x^2) y^prime+4 x^3 y=0 , y1(x)=e^x^2

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear homogênea de segunda ordem
x,y''-l(1+4x^2r)y'+4x^3y=0
e já fornece uma solução conhecida ,y1(x)=e^x^2.
O que a questão pede é encontrar uma segunda solução y2 linearmente independente usando o método de D’Alembert (redução de ordem) e, em seguida, escrever a solução geral.

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO na forma padrão
y''+p(x),y'+q(x),y=0
Dividindo a equação original por x (assumindo xneq0), obtemos
y''-1+4x^2x,y'+4x^2,y=0,
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p(x)=-1+4x^2x=-1x-4x, q(x)=4x^2

Passo 3

Pela redução de ordem, a segunda solução pode ser escrita como
y2(x) =y1(x)integral expl(-!integral p(x),dxr)y1^2(x),dx
Aqui expl(-integral p,dxr) é o fator que aparece na fórmula geral de D’Alembert.

Passo 4

Calculamos primeiro
integral p(x),dx =integrall(-tfrac1x-4xr),dx =-ln|x|-2x^2,
então
expl(-!integral p,dxr) =expl(ln|x|+2x^2r) =x,e^2x^2
Como y1^2(x)=e^2x^2, o integrando fica
x,e^2x^2e^2x^2=x,
e
integral x,dx=x^22
Logo
y2(x) =e^x^2cdotx^22 =x^22,e^x^2
Podemos multiplicar por 2 (constante não nula) e usar
y2(x)=x^2e^x^2
como segunda solução independente.

Passo 5

Com duas soluções lineares independentes y1=e^x^2 e y2=x^2e^x^2, a solução geral da EDO é
y(x)=C1e^x^2+C2x^2e^x^2,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

A segunda solução é
y2(x)=x^2e^x^2,
e a solução geral da EDO é
y(x)=C1e^x^2+C2x^2e^x^2

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