Exercício 5. Dada a EDOLH e uma solução, determine uma segunda solução L.I., utilizando o método de D’Alembert, e indique a solução geral da EDO.
Passo 1
O enunciado dá a EDO linear homogênea de segunda ordem
e já fornece uma solução conhecida
.
O que a questão pede é encontrar uma segunda solução linearmente independente usando o método de D’Alembert (redução de ordem) e, em seguida, escrever a solução geral.
O que a questão pede é encontrar uma segunda solução
Passo 2
Primeiro colocamos a EDO na forma padrão
Dividindo a equação original por
(assumindo
), obtemos
logo
Passo 3
Pela redução de ordem, a segunda solução pode ser escrita como
Aqui
é o fator que aparece na fórmula geral de D’Alembert.
Passo 4
Calculamos primeiro
então
Como
, o integrando fica
e
Logo
Podemos multiplicar por
(constante não nula) e usar
como segunda solução independente.
Passo 5
Com duas soluções lineares independentes
e
, a solução geral da EDO é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A segunda solução é
e a solução geral da EDO é