Ao lado de cada conjunto, escreva
(\mathbf{A}) se este for aberto,
(\mathbf{B}) se for fechado e
(\mathbf{N}) se não for nem aberto e nem fechado.
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x{2}+y{2} \leq 1ey>(x-1)^{2}\right}(\quad)
(\mathbf{A}) se este for aberto,
(\mathbf{B}) se for fechado e
(\mathbf{N}) se não for nem aberto e nem fechado.
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x{2}+y{2} \leq 1ey>(x-1)^{2}\right}(\quad)
Passo 1
O enunciado pede para classificar o conjunto
como aberto, fechado ou nenhum dos dois.
O conteúdo aqui é topologia em : lembrar que um conjunto é aberto se todo ponto admite uma bola inteira nele, e é fechado se contém todos os seus pontos de aderência (limite).
O conteúdo aqui é topologia em
Passo 2
Note que
é o disco fechado de raio 1, logo fechado em
.
E
E
é a região acima da parábola
, com desigualdade estrita, logo aberto em
.
Portanto
Portanto
Passo 3
Testando se
é aberto: basta encontrar um ponto de
que não seja interior.
Considere
Considere
Então
e
Logo
.
Porém qualquer bola centrada em de raio
conterá pontos com
, saindo de
e, portanto, de
.
Isso mostra que não é ponto interior de
, logo
não é aberto.
Porém qualquer bola centrada em
Isso mostra que
Passo 4
Testando se
é fechado: basta achar um ponto de aderência não pertencente a
.
Observe o ponto
Observe o ponto
Temos
, mas
impede
, de modo que
.
Por outro lado, a sequência
Por outro lado, a sequência
satisfaz, para
grande,
então
e
.
Assim, é ponto de aderência de
que não pertence a
, e
não é fechado.
Assim,
Resposta
(N)