Ao lado de cada conjunto, escreva
(\mathbf{A}) se este for aberto,
(\mathbf{B}) se for fechado e
(\mathbf{N}) se não for nem aberto e nem fechado.
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x{2}+y{2} \leq 1ey>(x-1)^{2}\right}(\quad)

Passo 1

O enunciado pede para classificar o conjunto
S = (x,y)inR^2 : x^2 + y^2 <= 1 e y > (x-1)^2
como aberto, fechado ou nenhum dos dois.
O conteúdo aqui é topologia em R^2: lembrar que um conjunto é aberto se todo ponto admite uma bola inteira nele, e é fechado se contém todos os seus pontos de aderência (limite).

Passo 2

Note que
D = (x,y): x^2 + y^2 <= 1
é o disco fechado de raio 1, logo fechado em R^2.
E
P = (x,y): y > (x-1)^2
é a região acima da parábola y=(x-1)^2, com desigualdade estrita, logo aberto em R^2.
Portanto
S = D ,cap, P

Passo 3

Testando se S é aberto: basta encontrar um ponto de S que não seja interior.
Considere
(x0,y0)=l(0,5,raiz0,75r)
Então
x0^2 + y0^2 = 0,25 + 0,75 = 1 implies (x0,y0)in D,
e
y0 = raiz0,75 > (0,5-1)^2 = 0,25 implies (x0,y0)in P
Logo (x0,y0)in S.
Porém qualquer bola centrada em (x0,y0) de raio varepsilon>0 conterá pontos com x^2+y^2>1, saindo de D e, portanto, de S.
Isso mostra que (x0,y0) não é ponto interior de S, logo S não é aberto.

Passo 4

Testando se S é fechado: basta achar um ponto de aderência não pertencente a S.
Observe o ponto
p=(1,0)
Temos 1^2+0^2=1<=1, mas 0=(1-1)^2 impede y>(x-1)^2, de modo que pnotin S.
Por outro lado, a sequência
(xn,yn) = l(1-tfrac1n,;tfrac1n + tfrac1n^2r)
satisfaz, para n grande,
xn^2 + yn^2 < 1 e yn = tfrac1n + tfrac1n^2 > l(xn-1r)^2 = tfrac1n^2,
então (xn,yn)in S e (xn,yn)to(1,0)=p.
Assim, p é ponto de aderência de S que não pertence a S, e S não é fechado.

Resposta

(N)

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