Exercício 1: Classifique os sistemas abaixo (possível/impossível, determinado/indeterminado) e determine as soluções, quando cabível.
\begin{cases}x+y+z & =6 \\\ x+2 y+3 z & =10 \\\\ 2 x+3 y+4 z & =16\end{cases}
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear de três equações e três incógnitas e pede que se classifique o sistema (possível/impossível e determinado/indeterminado) e, quando couber, se determine as soluções:
Os termos independentes (lado direito) são 6,10,16.
É pedido: (i) classificação do sistema; (ii) todas as soluções quando existirem.]
Passo 2
O método escolhido: eliminação de Gauss (também chamada eliminação por linhas). Justificativa breve e amigável: é o método mais direto e elementar para sistemas lineares 3×3, permite ver dependências entre equações e encontrar a(s) solução(ões) sem cálculo de inversa de matriz. Agora uma mini-aula sobre o que vamos usar:
Representação matricial rápida: a matriz dos coeficientes é
e o vetor dos termos independentes é \mathbf b=(6,10,16)^{\!T}. O sistema é A\mathbf x=\mathbf b, onde \mathbf x=(x,y,z)^{\!T}.
Intuição de compatibilidade e determinação:
Se as equações são linearmente independentes e a matriz A tem determinante diferente de zero, o sistema tem uma solução única (determinado).
Se o determinante de A for zero, pode ocorrer que não exista solução (incompatível/impossível) ou que existam infinitas soluções (compatível indeterminado). Para decidir, comparamos o posto (rank) da matriz dos coeficientes com o posto da matriz aumentada [A|\mathbf b].
Eliminação de Gauss realiza operações de linhas para transformar o sistema e descobrir dependências entre as equações.]
Passo 3
Vamos aplicar eliminação: escrevo as equações e uso operações elementares. Primeiro, chamo as equações de (1), (2), (3):
(1)\; x+y+z=6,
(2)\; x+2y+3z=10,
(3)\; 2x+3y+4z=16.
Subtraio (1) de (2) para eliminar x em (2) e subtraio 2\times(1) de (3) para eliminar x em (3).
Portanto as duas equações reduzidas (2’) e (3’) são idênticas: y+2z=4.
Passo 5
Interpretação das reduções:
A presença de duas equações idênticas mostra que as três equações originais não são todas independentes: há dependência linear entre elas.
Em termos de posto (rank): o posto da matriz de coeficientes é 2 (existem duas linhas linearmente independentes) e o posto da matriz aumentada também é 2 (pois os termos independentes após as mesmas operações dão a mesma última entrada 4). Como os postos são iguais e menores que o número de incógnitas, o sistema é compatível indeterminado (possível e indeterminado) — isto é, tem infinitas soluções parametrizadas.
Observação rápida e prática: também é possível verificar que o determinante de A é zero, o que confirma que não há solução única. Para ver isso:
Mas atenção: determinante zero só indica que não há solução única; ainda é preciso checar compatibilidade (o que fizemos com as operações).]
Passo 6
Agora encontro as soluções explicitamente. Das equações reduzidas temos:
y+2z=4. \tag{A}
Use (1) para relacionar x com y e z:
x+y+z=6 \quad\Rightarrow\quad x=6-y-z. \tag{B}
Como há uma equação independente a menos do que incógnitas, escolhemos uma variável livre para parametrizar as soluções. É comum escolher z como parâmetro. Seja t\in\mathbb{R} e defina z=t.
A partir de (A) obtemos
y=4-2z=4-2t.
A partir de (B) e substituindo y e z:
x=6-(4-2t)-t=6-4+2t-t=2+t.
Passo 7
Conclusão das soluções e forma vetorial:
A família de soluções, parametrizada por t\in\mathbb{R}, é