Exercício 1: Classifique os sistemas abaixo (possível/impossível, determinado/indeterminado) e determine as soluções, quando cabível.
\begin{cases}x+y+z+w & =10 \\\\ -w+x-y+2 z & =3 \\\\ 2 x-z+y+2 w & =11 \\\\ -x+2 y+3 w+z & =16\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para classificar o sistema linear (possível/impossível e determinado/indeterminado) e, quando houver solução, determinar essa solução. O sistema fornecido é:
\begin{cases} x+y+z+w=10\\[4pt] -x+y-? \text{(atenção: vamos escrever as equações exatamente como dadas)} \end{cases}çãçõ
Ops, vou reescrever o sistema exatamente como está no enunciado para não haver confusão:
\begin{cases} x+y+z+w=10,\\[4pt] -w+x-y+2z=3,\\[4pt] 2x-z+y+2w=11,\\[4pt] -x+2y+3w+z=16. \end{cases}
Dados relevantes (explicitados):
  • As quatro equações acima são as equações do sistema.
  • As incógnitas são \,x,y,z,w.
  • O que se quer: (i) classificar o sistema (possível/impossível e determinado/indeterminado) e (ii) quando aplicável, encontrar as soluções (x,y,z,w).]

Passo 2

Vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada para aplicar eliminação (organização útil). A matriz aumentada [A\mid b] é:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 1 & -1 & 2 & -1 & 3\\[4pt] 2 & 1 & -1 & 2 & 11\\[4pt] -1 & 2 & 1 & 3 & 16 \end{array}\right].
Explicação rápida: cada linha corresponde a uma equação; as colunas são as incógnitas \,x,y,z,w e a última coluna é o termo independente.]

Passo 3

Aplicamos operações elementares por linhas para triangularizar a matriz (eliminação): usarei combinações que mantenham números inteiros para facilitar a explicação.
Primeiro, anulamos os elementos abaixo do pivô da coluna 1 (pivô inicial é 1 na primeira linha).
Fazemos
R_2 \leftarrow R_2 - R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4 + R_1.
Calculando cada linha:
  • R_2 - R_1 = [1-1,\,-1-1,\,2-1,\,-1-1 \mid 3-10] = [0,-2,1,-2 \mid -7].
  • R_3 - 2R_1 = [2-2,\;1-2,\;-1-2,\;2-2 \mid 11-20] = [0,-1,-3,0 \mid -9].
  • R_4 + R_1 = [-1+1,\;2+1,\;1+1,\;3+1 \mid 16+10] = [0,3,2,4 \mid 26].
A matriz passa a ser:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 0 & -2 & 1 & -2 & -7\\[4pt] 0 & -1 & -3 & 0 & -9\\[4pt] 0 & 3 & 2 & 4 & 26 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora queremos eliminar os elementos abaixo do pivô da coluna 2 (o pivô provisório é -2 em R_2). Para evitar frações, faço combinações lineares inteiras:
R_3' = 2R_3 - R_2,\qquad R_4' = 2R_4 + 3R_2.
Calculando:
  • 2R_3 - R_2 = 2[0,-1,-3,0 \mid -9] - [0,-2,1,-2 \mid -7]
= [0,-2,-6,0 \mid -18] - [0,-2,1,-2 \mid -7] = [0,0,-7,2 \mid -11].
  • 2R_4 + 3R_2 = 2[0,3,2,4 \mid 26] + 3[0,-2,1,-2 \mid -7]
= [0,6,4,8 \mid 52] + [0,-6,3,-6 \mid -21] = [0,0,7,2 \mid 31].
Substituindo R_3 e R_4 pelas novas linhas obtemos:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 0 & -2 & 1 & -2 & -7\\[4pt] 0 & 0 & -7 & 2 & -11\\[4pt] 0 & 0 & 7 & 2 & 31 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora simplificamos ainda mais: somamos R_3 e R_4 para eliminar a coluna 3 na quarta linha:
R_4 \leftarrow R_4 + R_3.
Calculando:
[0,0,7,2 \mid 31] + [0,0,-7,2 \mid -11] = [0,0,0,4 \mid 20].
A matriz em forma triangular superior fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 0 & -2 & 1 & -2 & -7\\[4pt] 0 & 0 & -7 & 2 & -11\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 4 & 20 \end{array}\right].]

Passo 6

Interpretação da forma triangular:
  • A matriz tem pivôs não nulos em todas as quatro colunas de incógnitas ( x,y,z,w): pivô na coluna 1 (linha 1), coluna 2 (linha 2), coluna 3 (linha 3) e coluna 4 (linha 4).
  • Isso significa que a matriz dos coeficientes tem posto igual a 4, igual ao número de incógnitas. Portanto o sistema é possível e determinado (tem exatamente uma solução).

Passo 7

Agora fazemos substituição regressiva (back-substitution) para encontrar \,w,z,y,x a partir da última linha para a primeira.
Da última linha ( R_4):
4w = 20 \quad\Rightarrow\quad w = \dfrac{20}{4} = 5.

Passo 8

Da terceira linha ( R_3):
-7z + 2w = -11.
Substituindo w=5:
-7z + 2\cdot 5 = -11 \quad\Rightarrow\quad -7z +10 = -11 \quad\Rightarrow\quad -7z = -21 \quad\Rightarrow\quad z = 3.

Passo 9

Da segunda linha ( R_2):
-2y + z - 2w = -7.
Substituindo z=3 e w=5:
-2y + 3 - 2\cdot 5 = -7 \quad\Rightarrow\quad -2y +3 -10 = -7 \quad\Rightarrow\quad -2y -7 = -7 \quad\Rightarrow\quad -2y = 0 \quad\Rightarrow\quad y = 0.

Passo 10

Da primeira linha ( R_1):
x + y + z + w = 10.
Substituindo y=0,\\ z=3,\\ w=5:
x + 0 + 3 + 5 = 10 \quad\Rightarrow\quad x + 8 = 10 \quad\Rightarrow\quad x = 2.

Passo 11

Verificação rápida (opcional, mostra consistência): substituir (x,y,z,w)=(2,0,3,5) em cada equação dá os termos independentes originais (verificação feita mentalmente e consistente). Portanto solução válida e única.

Resposta

Sistema possível e determinado (única solução).
(x,y,z,w) = (2,0,3,5)

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