Exercício 1: Classifique os sistemas abaixo (possível/impossível, determinado/indeterminado) e determine as soluções, quando cabível.
\begin{cases}x+y+z+w & =10 \\\\ -w+x-y+2 z & =3 \\\\ 2 x-z+y+2 w & =11 \\\\ -x+2 y+3 w+z & =16\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede para classificar o sistema linear (possível/impossível e determinado/indeterminado) e, quando houver solução, determinar essa solução. O sistema fornecido é:
\begin{cases} x+y+z+w=10\\[4pt] -x+y-? \text{(atenção: vamos escrever as equações exatamente como dadas)} \end{cases}çãçõ
Ops, vou reescrever o sistema exatamente como está no enunciado para não haver confusão:
Explicação rápida: cada linha corresponde a uma equação; as colunas são as incógnitas \,x,y,z,w e a última coluna é o termo independente.]
Passo 3
Aplicamos operações elementares por linhas para triangularizar a matriz (eliminação): usarei combinações que mantenham números inteiros para facilitar a explicação.
Primeiro, anulamos os elementos abaixo do pivô da coluna 1 (pivô inicial é 1 na primeira linha).
Fazemos
Agora queremos eliminar os elementos abaixo do pivô da coluna 2 (o pivô provisório é -2 em R_2). Para evitar frações, faço combinações lineares inteiras:
A matriz tem pivôs não nulos em todas as quatro colunas de incógnitas (x,y,z,w): pivô na coluna 1 (linha 1), coluna 2 (linha 2), coluna 3 (linha 3) e coluna 4 (linha 4).
Isso significa que a matriz dos coeficientes tem posto igual a 4, igual ao número de incógnitas. Portanto o sistema é possível e determinado (tem exatamente uma solução).
Passo 7
Agora fazemos substituição regressiva (back-substitution) para encontrar \,w,z,y,x a partir da última linha para a primeira.
Da última linha (R_4):
4w = 20 \quad\Rightarrow\quad w = \dfrac{20}{4} = 5.
x + 0 + 3 + 5 = 10 \quad\Rightarrow\quad x + 8 = 10 \quad\Rightarrow\quad x = 2.
Passo 11
Verificação rápida (opcional, mostra consistência): substituir (x,y,z,w)=(2,0,3,5) em cada equação dá os termos independentes originais (verificação feita mentalmente e consistente). Portanto solução válida e única.
Resposta
Sistema possível e determinado (única solução). (x,y,z,w) = (2,0,3,5)