Exercício 1: Classifique os sistemas abaixo (possível/impossível, determinado/indeterminado) e determine as soluções, quando cabível.
\begin{cases}x+2 y+z & =4 \\\\ 4 y+2 x+2 z & =10 \\\ x-y+3 z & =5\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações e pede duas coisas:
  • Classificar o sistema quanto a ser possível/impossível e determinado/indeterminado.
  • Determinar as soluções quando for cabível.
As informações fornecidas são as três equações:
\begin{cases} x+2y+z=4,\\[4pt] 2x+4y+2z=10,\\[4pt] x-y+3z=5. \end{cases}]

Passo 2

Explicando o que significa classificar: um sistema linear é
  • possível (compatível) se existe pelo menos uma solução;
  • impossível (incompatível) se não existe solução;
  • determinado se tem exatamente uma solução;
  • indeterminado se tem infinitas soluções.
Uma ferramenta prática para analisar isso é a eliminação de Gauss (operações elementares entre equações). Escrevo a forma aumentada do sistema para facilitar as operações:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 4\\[4pt] 2 & 4 & 2 & 10\\[4pt] 1 & -1 & 3 & 5 \end{array}\right].
As operações permitidas são trocar linhas, multiplicar uma linha por número não nulo e somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Vou usar essas operações para simplificar.]

Passo 3

Eliminação: quero zerar a primeira coluna nas linhas 2 e 3 usando a linha 1.
Faço R_2 \gets R_2 - 2R_1. Calculo cada entrada:
  • Para os coeficientes: 2-2\cdot1=0, 4-2\cdot2=0, 2-2\cdot1=0.
  • Para o termo independente: 10-2\cdot4=10-8=2.
Então a segunda linha fica
[0\;0\;0\mid 2],
o que corresponde à equação
0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z = 2,
ou simplesmente
0 = 2.

Passo 4

Interpretação do resultado do passo anterior: a equação 0=2 é uma contradição impossível. Se durante a eliminação aparece uma linha equivalente a 0=\,\text{constante não nula}ã, isso significa que o sistema não pode ser satisfeito por nenhum triplo (x,y,z). Em linguagem de sistemas lineares, isso mostra que o sistema é incompatível (impossível).
Não é necessário completar a eliminação usando a terceira linha: uma contradição já basta para concluir que não há solução.

Passo 5

Conclusão final e classificação:
  • O sistema é impossível (incompatível).
  • Como é impossível, não se fala em ser determinado ou indeterminado no sentido de existência de solução; simplesmente não há solução.
Força aí — quando aparecer uma linha nula nos coeficientes com termo independente não nulo é sinal certo de incompatibilidade!

Resposta

Sistema impossível (incompatível). Não há solução.

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