Explicando o que significa classificar: um sistema linear é
possível (compatível) se existe pelo menos uma solução;
impossível (incompatível) se não existe solução;
determinado se tem exatamente uma solução;
indeterminado se tem infinitas soluções.
Uma ferramenta prática para analisar isso é a eliminação de Gauss (operações elementares entre equações). Escrevo a forma aumentada do sistema para facilitar as operações:
As operações permitidas são trocar linhas, multiplicar uma linha por número não nulo e somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Vou usar essas operações para simplificar.]
Passo 3
Eliminação: quero zerar a primeira coluna nas linhas 2 e 3 usando a linha 1.
Faço R_2 \gets R_2 - 2R_1. Calculo cada entrada:
Para os coeficientes: 2-2\cdot1=0, 4-2\cdot2=0, 2-2\cdot1=0.
Para o termo independente: 10-2\cdot4=10-8=2.
Então a segunda linha fica
[0\;0\;0\mid 2],
o que corresponde à equação
0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z = 2,
ou simplesmente
0 = 2.
Passo 4
Interpretação do resultado do passo anterior: a equação 0=2 é uma contradição impossível. Se durante a eliminação aparece uma linha equivalente a 0=\,\text{constante não nula}ã, isso significa que o sistema não pode ser satisfeito por nenhum triplo (x,y,z). Em linguagem de sistemas lineares, isso mostra que o sistema é incompatível (impossível).
Não é necessário completar a eliminação usando a terceira linha: uma contradição já basta para concluir que não há solução.
Passo 5
Conclusão final e classificação:
O sistema é impossível (incompatível).
Como é impossível, não se fala em ser determinado ou indeterminado no sentido de existência de solução; simplesmente não há solução.
Força aí — quando aparecer uma linha nula nos coeficientes com termo independente não nulo é sinal certo de incompatibilidade!
Resposta
Sistema impossível (incompatível). Não há solução.