Exercício 6: O Pêndulo Balístico
Um pêndulo balístico consiste em um grande bloco de madeira de massa
suspenso por fios leves de comprimento
. Um projétil de massa
é disparado horizontalmente contra o bloco e se aloja nele quase instantaneamente. Após o impacto, o conjunto oscila para cima, atingindo uma altura máxima vertical
acima do nível inicial antes de parar momentaneamente. Adote
.
a) Utilizando a conservação da energia mecânica durante a oscilação, determine a velocidade do conjunto (bloco + projétil) imediatamente após o impacto.
Um pêndulo balístico consiste em um grande bloco de madeira de massa
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
- Massa do bloco:
. - Massa do projétil:
. - Altura máxima alcançada pelo conjunto após o impacto:
. - Aceleração gravitacional:
. - Pergunta (parte a): usando a conservação da energia mecânica durante a oscilação, determinar a velocidade do conjunto (bloco + projétil) imediatamente após o impacto.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
- Energia cinética (energia de movimento) de um corpo de massa
com velocidade é dada por
onde
é a massa total (no nosso caso
) e
é a velocidade.
- Energia potencial gravitacional relativa a um nível de referência (aqui o nível inicial do bloco) é
onde
é a elevação vertical alcançada.
- A hipótese do enunciado é que durante a oscilação (após o impacto) não há perda de energia mecânica significativa: a energia cinética logo após o impacto transforma-se em energia potencial na altura máxima. Por isso podemos igualar
.
Observação importante (didática): o impacto em si é inelástico (o projétil fica alojado), então energia não é conservada durante o choque. Mas depois do choque, na subida do pêndulo, podemos aplicar conservação de energia mecânica porque as forças não conservativas (atrito do fio) são desprezíveis no enunciado.
Passo 3
Escrevendo a conservação de energia entre o instante imediatamente após o impacto (toda a energia mecânica é cinética) e o instante de altura máxima (toda energia é potencial):
Aqui
é a velocidade do conjunto imediatamente após o impacto. Note o lado esquerdo é a energia cinética do conjunto e o lado direito é o ganho de energia potencial ao subir até
.
Passo 4
Simplificação da equação: como o fator
aparece em ambos os lados, ele se cancela (desde que
, o que é óbvio):
Isolando
:
Comentário didático: isso mostra algo prático — a velocidade inicial do conjunto, imediatamente após o impacto, independe das massas individuais; depende apenas da altura alcançada e de
.
Passo 5
Agora fazemos as contas numéricas passo a passo:
- Primeiro calcule
:
- Então
Arredondando de forma razoável (3 algarismos significativos), obtemos
.
Passo 6
Resumo rápido e incentivo: aplicamos a conservação de energia da forma mais direta — energia cinética convertida em energia potencial — fizemos a conta com calma e vimos que a massa não entra no resultado final. Está indo bem; essa é uma questão típica de pêndulo balístico que cai direto com a fórmula
.