Exercício 6: O Pêndulo Balístico
Um pêndulo balístico consiste em um grande bloco de madeira de massa M=2,5 \mathrm{~kg} suspenso por fios leves de comprimento L. Um projétil de massa m=10 \mathrm{~g}(0,010 \mathrm{~kg}) é disparado horizontalmente contra o bloco e se aloja nele quase instantaneamente. Após o impacto, o conjunto oscila para cima, atingindo uma altura máxima vertical h=12,25 \mathrm{~cm}(0,1225 \mathrm{~m}) acima do nível inicial antes de parar momentaneamente. Adote g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
a) Utilizando a conservação da energia mecânica durante a oscilação, determine a velocidade do conjunto (bloco + projétil) imediatamente após o impacto.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Massa do bloco: M=2,5\\ \mathrm{kg}.
  • Massa do projétil: m=0,010\\ \mathrm{kg}.
  • Altura máxima alcançada pelo conjunto após o impacto: h=0,1225\\ \mathrm{m}.
  • Aceleração gravitacional: g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Pergunta (parte a): usando a conservação da energia mecânica durante a oscilação, determinar a velocidade do conjunto (bloco + projétil) imediatamente após o impacto.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
  • Energia cinética (energia de movimento) de um corpo de massa M_{\text{tot}} com velocidade v é dada por
K=\tfrac{1}{2}M_{\text{tot}}v^{2},
onde M_{\text{tot}} é a massa total (no nosso caso M_{\text{tot}}=M+m) e v é a velocidade.
  • Energia potencial gravitacional relativa a um nível de referência (aqui o nível inicial do bloco) é
U=M_{\text{tot}} g h,
onde h é a elevação vertical alcançada.
  • A hipótese do enunciado é que durante a oscilação (após o impacto) não há perda de energia mecânica significativa: a energia cinética logo após o impacto transforma-se em energia potencial na altura máxima. Por isso podemos igualar K_{\text{inicial}}=U_{\text{no topo}}.
Observação importante (didática): o impacto em si é inelástico (o projétil fica alojado), então energia não é conservada durante o choque. Mas depois do choque, na subida do pêndulo, podemos aplicar conservação de energia mecânica porque as forças não conservativas (atrito do fio) são desprezíveis no enunciado.

Passo 3

Escrevendo a conservação de energia entre o instante imediatamente após o impacto (toda a energia mecânica é cinética) e o instante de altura máxima (toda energia é potencial):
\tfrac{1}{2}(M+m)v^{2}=(M+m) g h.
Aqui v é a velocidade do conjunto imediatamente após o impacto. Note o lado esquerdo é a energia cinética do conjunto e o lado direito é o ganho de energia potencial ao subir até h.

Passo 4

Simplificação da equação: como o fator (M+m) aparece em ambos os lados, ele se cancela (desde que M+m\neq0, o que é óbvio):
\tfrac{1}{2}v^{2}=g h.
Isolando v:
v^{2}=2 g h,
v=\sqrt{2 g h}.
Comentário didático: isso mostra algo prático — a velocidade inicial do conjunto, imediatamente após o impacto, independe das massas individuais; depende apenas da altura alcançada e de g.

Passo 5

Agora fazemos as contas numéricas passo a passo:
  • Primeiro calcule 2 g h:
2g=2\cdot 9,8=19,6,
19,6\cdot 0,1225=2,401.
  • Então
v=\sqrt{2,401}\approx 1,549\dots
Arredondando de forma razoável (3 algarismos significativos), obtemos v\approx 1,55\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Resumo rápido e incentivo: aplicamos a conservação de energia da forma mais direta — energia cinética convertida em energia potencial — fizemos a conta com calma e vimos que a massa não entra no resultado final. Está indo bem; essa é uma questão típica de pêndulo balístico que cai direto com a fórmula v=\sqrt{2gh}.

Resposta

1,55\\ \mathrm{m/s}

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