Exercício 6: O Pêndulo Balístico
Um pêndulo balístico consiste em um grande bloco de madeira de massa M=2,5 \mathrm{~kg} suspenso por fios leves de comprimento L. Um projétil de massa m=10 \mathrm{~g}(0,010 \mathrm{~kg}) é disparado horizontalmente contra o bloco e se aloja nele quase instantaneamente. Após o impacto, o conjunto oscila para cima, atingindo uma altura máxima vertical h=12,25 \mathrm{~cm}(0,1225 \mathrm{~m}) acima do nível inicial antes de parar momentaneamente. Adote g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
b) Utilizando a conservação do momento linear no instante do choque, calcule a velocidade inicial do projétil antes de atingir o bloco.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente os números fornecidos):
  • Massa do bloco: M=2{,}5\\ \mathrm{kg}.
  • Massa do projétil: m=0{,}010\\ \mathrm{kg}.
  • Altura máxima atingida pelo conjunto após o choque: h=0{,}1225\\ \mathrm{m}.
  • Aceleração da gravidade: g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O que a pergunta (b) pede: calcular a velocidade inicial do projétil, isto é, a velocidade v do projétil imediatamente antes de atingir o bloco.

Passo 2

Qual princípio físico usar no instante do choque? No choque quase instantâneo entre projétil e bloco, as forças externas (como o peso) atuam por tempo muito maior do que o tempo do impacto, então o momento linear do sistema projétil+bloco é conservado durante o impacto. Escrevendo a conservação do momento linear no instante imediatamente antes e imediatamente após o impacto:
m\,v = (M+m)\,V,
onde:
  • v é a velocidade do projétil imediatamente antes do impacto (incógnita),
  • V é a velocidade comum do bloco + projétil imediatamente após o impacto.
Aqui deixamos claro: não se espera que a energia cinética seja conservada no choque (é um choque inelástico), por isso usamos momento linear, não energia no instante do impacto.

Passo 3

Como obter V? Após o impacto o sistema (bloco+projétil) sobe e atinge altura máxima h. Durante essa subida a energia cinética inicial do conjunto é convertida em energia potencial gravitacional, e nesse processo (movimento lento após o choque) podemos usar conservação da energia mecânica:
\frac{1}{2}(M+m)\,V^{2} = (M+m)\,g\,h.
Cancelando o fator comum (M+m) (ele é não nulo), obtemos uma expressão simples para V:
V = \sqrt{2\,g\,h}.
Isto é intuitivo: a velocidade imediatamente após o choque é a que corresponde à energia necessária para subir a altura h.

Passo 4

Calcular numericamente V. Primeiro calcule 2gh:
2g h = 2 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}1225.
Fazendo as contas passo a passo:
2\cdot 9{,}8 = 19{,}6,
19{,}6 \cdot 0{,}1225 = 2{,}401.
Portanto
V = \sqrt{2{,}401} \approx 1{,}549\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Voltar à conservação do momento para achar v. Da equação m\,v=(M+m)\,V isolamos v:
v = \frac{M+m}{m}\,V.
Calcule o fator \dfrac{M+m}{m}:
\frac{M+m}{m} = \frac{2{,}5 + 0{,}010}{0{,}010} = \frac{2{,}510}{0{,}010} = 251.
Agora multiplicamos por V:
v = 251 \times 1{,}549 \approx 388{,}85\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: o resultado faz sentido fisicamente — um projétil leve precisa ter uma velocidade grande para transferir energia suficiente ao bloco pesado para que o conjunto suba 0{,}1225\\ \mathrm{m}. Você mandou bem pedindo para usar conservação do momento; esse é exatamente o passo correto em pêndulo balístico. Força aí que está quase pronto!

Resposta

v \approx 388{,}9\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados