Exercício 5: Colisão Elástica Unidimensional
Dois blocos em um trilho de ar horizontal sem atrito realizam uma colisão elástica frontal. O bloco A, de massa m_{A}=0,50 \mathrm{~kg}, move-se inicialmente para a direita com uma velocidade de 4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O bloco B, de massa m_{B}=0,30 \mathrm{~kg}, move-se inicialmente para a esquerda com uma velocidade de 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
b) Mostre explicitamente que a energia cinética total do sistema se conservou nesta colisão.

Passo 1

Enunciado e dados (o que o problema dá e o que pede):
  • Dados numéricos (peguei do enunciado):
    • m_{A}=0,50\\ \mathrm{kg}
    • m_{B}=0,30\\ \mathrm{kg}
    • velocidade inicial do bloco A: v_{A,i}=+4,0\\ \mathrm{m/s} (para a direita escolhemos sinal positivo)
    • velocidade inicial do bloco B: v_{B,i}=-2,0\\ \mathrm{m/s} (movendo-se para a esquerda, por isso negativo)
  • O enunciado pede:
    • (b) Mostrar explicitamente que a energia cinética total do sistema se conservou na colisão.

Passo 2

Estratégia e variáveis: como mostrar conservação da energia cinética?
  • Em colisão elástica unidimensional temos duas leis que valem simultaneamente:
    1. conservação da quantidade de movimento (momento linear)
    2. conservação da energia cinética total
  • Para mostrar que a energia cinética é conservada convém:
    • determinar as velocidades finais v_{A,f} e v_{B,f} usando conservação do momento e a propriedade de colisão elástica; e
    • calcular a energia cinética total antes e depois e comparar.
  • Vou identificar as incógnitas:
    • v_{A,f} = velocidade final do bloco A (após a colisão)
    • v_{B,f} = velocidade final do bloco B

Passo 3

Escrever as equações de conservação (explicando as fórmulas):
  • Conservação da quantidade de movimento (soma dos momentos antes = soma depois):
m_A v_{A,i} + m_B v_{B,i} = m_A v_{A,f} + m_B v_{B,f}.
Explicação: cada termo m v é o momento linear de uma massa; a soma é preservada em colisões isoladas.
  • Conservação da energia cinética (para colisão elástica):
\frac{1}{2}m_A v_{A,i}^{2} + \frac{1}{2}m_B v_{B,i}^{2} = \frac{1}{2}m_A v_{A,f}^{2} + \frac{1}{2}m_B v_{B,f}^{2}.
Explicação: a energia cinética de cada corpo é \tfrac{1}{2} m v^{2}; na colisão elástica a soma permanece a mesma.

Passo 4

Derivar relação útil entre velocidades (relaçao de velocidade relativa) que facilita resolver o sistema:
  • Da conservação do momento subtraindo termos, obtemos
m_A(v_{A,i}-v_{A,f}) = m_B(v_{B,f}-v_{B,i}).
  • Da conservação da energia multiplicada por 2 e rearranjada:
m_A(v_{A,i}^{2}-v_{A,f}^{2}) = m_B(v_{B,f}^{2}-v_{B,i}^{2}).
Fatorando cada lado:
m_A(v_{A,i}-v_{A,f})(v_{A,i}+v_{A,f}) = m_B(v_{B,f}-v_{B,i})(v_{B,f}+v_{B,i}).
  • Como m_A(v_{A,i}-v_{A,f}) = m_B(v_{B,f}-v_{B,i}) (pela equação do momento), podemos dividir ambos os lados por esse fator (não nulo em colisões não-triviais) e obter:
v_{A,i}+v_{A,f} = v_{B,f}+v_{B,i}.
Rearranjando:
v_{A,f}-v_{B,f} = -(v_{A,i}-v_{B,i}).
Interpretação: na colisão elástica a velocidade relativa inverte de sinal — isto é uma propriedade padrão e muito útil para resolver.

Passo 5

Usar as duas equações (momento e relação de velocidades) para achar v_{A,f} e v_{B,f}.
  • Escrevendo novamente o momento:
m_A v_{A,i} + m_B v_{B,i} = m_A v_{A,f} + m_B v_{B,f}.
  • E a relação de velocidades (obtida):
v_{A,f} = v_{B,f} - (v_{A,i}-v_{B,i}).
Substituindo v_{A,f} na equação do momento:
m_A v_{A,i} + m_B v_{B,i} = m_A\bigl(v_{B,f} - (v_{A,i}-v_{B,i})\bigr) + m_B v_{B,f}.
Desenvolvendo e agrupando termos em v_{B,f}:
m_A v_{A,i} + m_B v_{B,i} = (m_A+m_B)v_{B,f} - m_A v_{A,i} + m_A v_{B,i}.
Passando termos e simplificando:
(m_A+m_B)v_{B,f} = 2m_A v_{A,i} + (m_B - m_A) v_{B,i}.
Logo
v_{B,f} = \frac{2m_A v_{A,i} + (m_B - m_A) v_{B,i}}{m_A + m_B}.
Substituindo os valores numéricos (peguei os números do enunciado):
  • m_A + m_B = 0,50 + 0,30 = 0,80\\ \mathrm{kg}.
  • Numerador: 2m_A v_{A,i} + (m_B - m_A) v_{B,i} = 2\cdot0,50\cdot4,0 + (0,30-0,50)\cdot(-2,0).Calcule passo a passo: 2\cdot0,50\cdot4,0 = 1,0\cdot4,0 = 4,0,
(0,30-0,50)\cdot(-2,0) = (-0,20)\cdot(-2,0) = +0,40.
Soma = 4,0 + 0,40 = 4,40.
  • Assim
v_{B,f} = \frac{4,40}{0,80} = 5,5\\ \mathrm{m/s}.
Agora obtemos v_{A,f} pela relação de velocidades:
v_{A,f} - v_{B,f} = -(v_{A,i}-v_{B,i}) \quad\Rightarrow\quad v_{A,f} = v_{B,f} - v_{A,i} + v_{B,i}.
Substituindo números:
v_{A,f} = 5,5 - 4,0 + (-2,0) = 5,5 - 6,0 = -0,5\\ \mathrm{m/s}.
Conferência rápida (opcional): verificar momento final
p_f = m_A v_{A,f} + m_B v_{B,f} = 0,50\cdot(-0,5) + 0,30\cdot5,5 = -0,25 + 1,65 = 1,40\\ \mathrm{kg\cdot m/s},
momento inicial
p_i = 0,50\cdot4,0 + 0,30\cdot(-2,0) = 2,00 - 0,60 = 1,40\\ \mathrm{kg\cdot m/s},
portanto o momento está conservado (boa checagem).

Passo 6

Calcular a energia cinética total inicial (explicando a fórmula) e obter valor numérico:
  • Fórmula da energia cinética de cada bloco: \displaystyle K=\tfrac{1}{2} m v^{2}.
  • Energia cinética total inicial:
K_\text{inicial} = \tfrac{1}{2} m_A v_{A,i}^{2} + \tfrac{1}{2} m_B v_{B,i}^{2}.
Substituindo os valores:
K_\text{inicial} = \tfrac{1}{2}\cdot0,50\cdot(4,0)^{2} + \tfrac{1}{2}\cdot0,30\cdot(-2,0)^{2}.
Calcule passo a passo:
\tfrac{1}{2}\cdot0,50 = 0,25,\quad (4,0)^{2}=16 \Rightarrow 0,25\cdot16 = 4,00\\ \mathrm{J}.
\tfrac{1}{2}\cdot0,30 = 0,15,\quad (-2,0)^{2}=4 \Rightarrow 0,15\cdot4 = 0,60\\ \mathrm{J}.
Somando:
K_\text{inicial} = 4,00 + 0,60 = 4,60\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Calcular a energia cinética total final com as velocidades encontradas e comparar:
  • Energia cinética total final:
K_\text{final} = \tfrac{1}{2} m_A v_{A,f}^{2} + \tfrac{1}{2} m_B v_{B,f}^{2}.
Substituindo os valores encontrados v_{A,f}=-0,5\\ \mathrm{m/s} e v_{B,f}=5,5\\ \mathrm{m/s}:
K_\text{final} = \tfrac{1}{2}\cdot0,50\cdot(-0,5)^{2} + \tfrac{1}{2}\cdot0,30\cdot(5,5)^{2}.
Calcule passo a passo:
\tfrac{1}{2}\cdot0,50 = 0,25,\quad (-0,5)^{2}=0,25 \Rightarrow 0,25\cdot0,25 = 0,0625\\ \mathrm{J}.
\tfrac{1}{2}\cdot0,30 = 0,15,\quad (5,5)^{2}=30,25 \Rightarrow 0,15\cdot30,25 = 4,5375\\ \mathrm{J}.
Somando:
K_\text{final} = 0,0625 + 4,5375 = 4,6000\\ \mathrm{J} \approx 4,60\\ \mathrm{J}.
Comparando K_\text{inicial}=4,60\\ \mathrm{J} com K_\text{final}=4,60\\ \mathrm{J}, vemos que são iguais (dentro da precisão dos cálculos): a energia cinética total se conservou.

Passo 8

Conclusão didática e moral da história:
  • Mostramos passo a passo como usar conservação do momento e a propriedade da inversão da velocidade relativa para obter v_{A,f} e v_{B,f}.
  • Calculamos explicitamente a energia cinética total antes e depois da colisão e observamos que os valores coincidem: 4,60\\ \mathrm{J}.
  • Portanto a colisão é de fato elástica e a energia cinética total do sistema se conservou.

Resposta

A energia cinética total se conservou: K_{\text{inicial}}=K_{\text{final}}=4,60\\ \mathrm{J}.

Exercícios relacionados