Exercício 5: Colisão Elástica Unidimensional
Dois blocos em um trilho de ar horizontal sem atrito realizam uma colisão elástica frontal. O bloco A, de massa
, move-se inicialmente para a direita com uma velocidade de
. O bloco B, de massa
, move-se inicialmente para a esquerda com uma velocidade de
.
b) Mostre explicitamente que a energia cinética total do sistema se conservou nesta colisão.
Dois blocos em um trilho de ar horizontal sem atrito realizam uma colisão elástica frontal. O bloco A, de massa
Passo 1
Enunciado e dados (o que o problema dá e o que pede):
-
Dados numéricos (peguei do enunciado):
-
-
- velocidade inicial do bloco A:
(para a direita escolhemos sinal positivo) - velocidade inicial do bloco B:
(movendo-se para a esquerda, por isso negativo)
-
-
O enunciado pede:
- (b) Mostrar explicitamente que a energia cinética total do sistema se conservou na colisão.
Passo 2
Estratégia e variáveis: como mostrar conservação da energia cinética?
- Em colisão elástica unidimensional temos duas leis que valem simultaneamente:
- conservação da quantidade de movimento (momento linear)
- conservação da energia cinética total
- Para mostrar que a energia cinética é conservada convém:
- determinar as velocidades finais
e usando conservação do momento e a propriedade de colisão elástica; e - calcular a energia cinética total antes e depois e comparar.
- determinar as velocidades finais
- Vou identificar as incógnitas:
-
= velocidade final do bloco A (após a colisão) -
= velocidade final do bloco B
-
Passo 3
Escrever as equações de conservação (explicando as fórmulas):
- Conservação da quantidade de movimento (soma dos momentos antes = soma depois):
Explicação: cada termo
é o momento linear de uma massa; a soma é preservada em colisões isoladas.
- Conservação da energia cinética (para colisão elástica):
Explicação: a energia cinética de cada corpo é
; na colisão elástica a soma permanece a mesma.
Passo 4
Derivar relação útil entre velocidades (relaçao de velocidade relativa) que facilita resolver o sistema:
- Da conservação do momento subtraindo termos, obtemos
- Da conservação da energia multiplicada por 2 e rearranjada:
Fatorando cada lado:
- Como
(pela equação do momento), podemos dividir ambos os lados por esse fator (não nulo em colisões não-triviais) e obter:
Rearranjando:
Interpretação: na colisão elástica a velocidade relativa inverte de sinal — isto é uma propriedade padrão e muito útil para resolver.
Passo 5
Usar as duas equações (momento e relação de velocidades) para achar
e
.
- Escrevendo novamente o momento:
- E a relação de velocidades (obtida):
Substituindo
na equação do momento:
Desenvolvendo e agrupando termos em
:
Passando termos e simplificando:
Logo
Substituindo os valores numéricos (peguei os números do enunciado):
-
. - Numerador:
Calcule passo a passo:
Soma =
.
- Assim
Agora obtemos
pela relação de velocidades:
Substituindo números:
Conferência rápida (opcional): verificar momento final
momento inicial
portanto o momento está conservado (boa checagem).
Passo 6
Calcular a energia cinética total inicial (explicando a fórmula) e obter valor numérico:
- Fórmula da energia cinética de cada bloco:
. - Energia cinética total inicial:
Substituindo os valores:
Calcule passo a passo:
Somando:
Passo 7
Calcular a energia cinética total final com as velocidades encontradas e comparar:
- Energia cinética total final:
Substituindo os valores encontrados
e
:
Calcule passo a passo:
Somando:
Comparando
com
, vemos que são iguais (dentro da precisão dos cálculos): a energia cinética total se conservou.
Passo 8
Conclusão didática e moral da história:
- Mostramos passo a passo como usar conservação do momento e a propriedade da inversão da velocidade relativa para obter
e . - Calculamos explicitamente a energia cinética total antes e depois da colisão e observamos que os valores coincidem:
. - Portanto a colisão é de fato elástica e a energia cinética total do sistema se conservou.
Resposta
A energia cinética total se conservou:
.