Exercício 3
Compare a energia eletrostática contida em duas esferas maciças de raio R e carga total Q, uma isolante e uma condutora.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas esferas maciças, ou seja, sólidas, ambas com raio $ R $ e carga total $ Q $. A diferença é que uma delas é isolante e a outra é condutora. Nosso objetivo aqui é comparar a energia eletrostática que cada uma dessas esferas armazena.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como a carga se distribui em materiais condutores e isolantes, além de como calcular a energia eletrostática armazenada em sistemas carregados.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre como a carga elétrica se distribui em cada tipo de material. Em uma esfera condutora, as cargas elétricas se espalham uniformemente na superfície da esfera. Isso acontece porque os elétrons, que são as partículas carregadas negativamente, podem se mover facilmente pela superfície do condutor até se distribuírem de forma que o campo elétrico no interior seja zero.
Já em uma esfera isolante, as cargas ficam fixas onde foram colocadas. Ou seja, a carga não se move livremente e, geralmente, fica distribuída de maneira uniforme em todo o volume da esfera, não apenas na superfície.

Passo 3

Agora que sabemos como as cargas estão distribuídas, vamos calcular a energia eletrostática para cada caso. A energia eletrostática $ U $ pode ser calculada usando a fórmula:
U
onde $ \rho(\mathbf{r}) $ é a densidade de carga na posição $ \mathbf{r} $ e $ V(\mathbf{r}) $ é o potencial elétrico nessa posição.
Para simplificar, podemos usar uma forma mais direta para calcular a energia armazenada em uma esfera carregada. Dependendo de como a carga está distribuída, a energia será diferente.

Passo 4

Para a esfera condutora:
Como a carga está apenas na superfície, o potencial $ V $ dentro da esfera é constante e igual ao potencial na superfície. O potencial de uma esfera carregada no seu exterior é:
V
A energia armazenada na esfera condutora é então:
V = 14pivarepsilon0 cdot QR
Simplificando:
Ucondutor = 12 Q V = 12 cdot 14pivarepsilon0 cdot Q^2R

Passo 5

Para a esfera isolante:
Nesse caso, a carga está distribuída uniformemente por todo o volume. O potencial dentro de uma esfera carregada uniformemente é:
V(r) = 14pivarepsilon0 cdot Q2R (3 - r^2R^2)
Para encontrar a energia, precisamos integrar sobre todo o volume da esfera:
Uisolante = 35 cdot Q^24pivarepsilon0 R

Passo 6

Agora, vamos comparar as duas energias:
Ucondutor = Q^28pivarepsilon0 R
Uisolante = 3Q^220pivarepsilon0 R
Para facilitar a comparação, vamos expressar ambas as energias com o mesmo denominador:
Q^28pivarepsilon0 R = 5Q^240pivarepsilon0 R
3Q^220pivarepsilon0 R = 6Q^240pivarepsilon0 R
Comparando $ \frac{5Q^2}{40\pi\varepsilon_0 R} $ e $ \frac{6Q^2}{40\pi\varepsilon_0 R} $, vemos que:
5Q^240pivarepsilon0 R

Resposta

A energia eletrostática na esfera isolante é maior que na esfera condutora. Especificamente, $ U_{isolante} = \dfrac{3Q^2}{20\pi\varepsilon_0 R} $ enquanto $ U_{condutor} = \dfrac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R} $.

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