As posições de duas partículas A e B são descritas a seguir
& rA(t)=2 t^2 i+(2+3 t) j+5 t k & rB(t)=4 t^2 j-3 t k
Calcule o vetor aceleração e seu respectivo módulo para ambas as partículas.

Passo 1

Beleza, então o exercício diz que temos as posições vetoriais de duas partículas A e B em função do tempo:
vec rA(t) = 2t^2,hat i + (2+3t),hat j + 5t,hat k, vec rB(t) = 4t^2,hat j - 3t,hat k
O conteúdo é cinemática vetorial: a gente precisa derivar duas vezes a posição para achar a aceleração. Vamos usar cálculo de derivadas:
  • A velocidade é .
  • A aceleração é .
    E aí, pra achar o módulo, usamos .

Passo 2

Vamos começar por A.
  1. Primeiro derivamos vec vA(t) = 4t,hat i + 3,hat j + 5,hat k pra achar vec aA(t) = 4,hat i + 0,hat j + 0,hat k = 4,hat i :

    • Então
  2. Agora derivamos de novo pra ter :

    • Logo

Passo 3

Módulo de |vec aA| = raiz4^2 + 0^2 + 0^2 = raiz16 = 4 :

Passo 4

Agora a partícula B.
  1. Derivada de vec vB(t) = 8t,hat j - 3,hat k pra achar vec aB(t) = 0,hat i + 8,hat j + 0,hat k = 8,hat j :

    • Então
  2. Derivada de pra achar :

    • Logo

Passo 5

Módulo de |vec aB| = raiz0^2 + 8^2 + 0^2 = raiz64 = 8 :

Resposta

  • Para A: , com .
  • Para B: , com .

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