Exercício 4.3. Complete o conjunto \left\{1+x, 1-x^{2}\right\} para formar uma base de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \{1+x,\;1-x^{2}\} e pede para completá‑lo de modo a formar uma base de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Polinômios fornecidos: 1+x e 1-x^{2}.
  • Espaço alvo: \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), o espaço dos polinômios reais de grau ≤ 2.
O que se pede:
  • Encontrar um polinômio p(x) tal que \{1+x,\;1-x^{2},\;p(x)\} seja uma base de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).

Passo 2

Lembrete didático (o que é preciso saber):
  • Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que é linearmente independente e que gera (faz o span de) o espaço.
  • \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) tem dimensão 3. Logo, qualquer base terá exatamente 3 polinômios.
  • Para provar que três polinômios formam uma base basta mostrar que são linearmente independentes (pois se tivermos 3 vetores independentes num espaço de dimensão 3, eles automaticamente geram o espaço).
  • Dois polinômios p,q são linearmente independentes se a única combinação linear a p + b q = 0 (polinômio zero) tiver a=b=0. Para polinômios, isso se verifica comparando coeficientes das potências 1,x,x^{2}.

Passo 3

Passo prático: representar os polinômios dados por vetores de coeficientes na base padrão \{1,x,x^{2}\}.
  • Para 1+x os coeficientes são: termo constante 1, coeficiente de x é 1, coeficiente de x^{2} é 0. Logo o vetor é (1,1,0).
  • Para 1-x^{2} os coeficientes são: constante 1, coeficiente de x 0, coeficiente de x^{2} -1. Logo o vetor é (1,0,-1).
Agora precisamos escolher um terceiro polinômio cujo vetor de coeficientes não esteja no subespaço gerado por (1,1,0) e (1,0,-1).

Passo 4

Escolha simples e natural: pegar p(x)=x^{2}. Seu vetor de coeficientes na base padrão é (0,0,1).
Vamos verificar a independência linear de \{1+x,\;1-x^{2},\;x^{2}\} resolvendo a igualdade de polinômios
c_{1}(1+x)+c_{2}(1-x^{2})+c_{3}x^{2}=0,
onde 0 é o polinômio zero. Igualando coeficientes de cada potência obtemos o sistema:
  • coeficiente do termo constante: c_{1}+c_{2}=0,
  • coeficiente de x: c_{1}=0,
  • coeficiente de x^{2}: -c_{2}+c_{3}=0.
Agora resolvemos:
  • Da segunda equação vem c_{1}=0.
  • Substituindo na primeira: 0 + c_{2}=0 c_{2}=0.
  • Então da terceira: -0 + c_{3}=0 c_{3}=0.
Portanto a única solução é c_{1}=c_{2}=c_{3}=0, ou seja, os três polinômios são linearmente independentes.

Passo 5

Conclusão prática (e dica para a prova):
  • Já que \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) tem dimensão 3 e encontramos 3 polinômios linearmente independentes, eles formam uma base.
  • Dica rápida para escolher outro terceiro elemento numa prova: basta escolher um polinômio cujo vetor de coeficientes não seja combinação linear dos dois primeiros — por exemplo qualquer polinômio com coeficiente de x ou de x^{2} que não seja resolvido pelo sistema acima. Exemplos válidos: x, x^{2}, 1\!+\!x^{2}, etc. Mas x^{2} é a escolha mais direta.

Resposta

\{\,1+x,\;1-x^{2},\;x^{2}\,\}

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