Exercício 4.3. Complete o conjunto
para formar uma base de
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para completá‑lo de modo a formar uma base de
.
Informações relevantes que o enunciado dá:
- Polinômios fornecidos:
e . - Espaço alvo:
, o espaço dos polinômios reais de grau ≤ .
O que se pede:
- Encontrar um polinômio
tal que seja uma base de .
Passo 2
Lembrete didático (o que é preciso saber):
- Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que é linearmente independente e que gera (faz o span de) o espaço.
-
tem dimensão . Logo, qualquer base terá exatamente polinômios. - Para provar que três polinômios formam uma base basta mostrar que são linearmente independentes (pois se tivermos
vetores independentes num espaço de dimensão , eles automaticamente geram o espaço). - Dois polinômios
são linearmente independentes se a única combinação linear (polinômio zero) tiver . Para polinômios, isso se verifica comparando coeficientes das potências .
Passo 3
Passo prático: representar os polinômios dados por vetores de coeficientes na base padrão
.
- Para
os coeficientes são: termo constante , coeficiente de é , coeficiente de é . Logo o vetor é . - Para
os coeficientes são: constante , coeficiente de , coeficiente de . Logo o vetor é .
Agora precisamos escolher um terceiro polinômio cujo vetor de coeficientes não esteja no subespaço gerado por
e
.
Passo 4
Escolha simples e natural: pegar
. Seu vetor de coeficientes na base padrão é
.
Vamos verificar a independência linear de
resolvendo a igualdade de polinômios
onde
é o polinômio zero. Igualando coeficientes de cada potência obtemos o sistema:
- coeficiente do termo constante:
, - coeficiente de
: , - coeficiente de
: .
Agora resolvemos:
- Da segunda equação vem
. - Substituindo na primeira:
⇒ . - Então da terceira:
⇒ .
Portanto a única solução é
, ou seja, os três polinômios são linearmente independentes.
Passo 5
Conclusão prática (e dica para a prova):
- Já que
tem dimensão e encontramos polinômios linearmente independentes, eles formam uma base. - Dica rápida para escolher outro terceiro elemento numa prova: basta escolher um polinômio cujo vetor de coeficientes não seja combinação linear dos dois primeiros — por exemplo qualquer polinômio com coeficiente de
ou de que não seja resolvido pelo sistema acima. Exemplos válidos: , , , etc. Mas é a escolha mais direta.