Exercício 4.1. Verifique se o conjunto S=\{(1,-1,0),(2,0,1),(0,2,1)\} forma uma base para \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S=\{(1,-1,0),(2,0,1),(0,2,1)\} e pede para verificar se S forma uma base para \mathbb{R}^{3}.
Informações dadas:
  • Vetor v_1=(1,-1,0).
  • Vetor v_2=(2,0,1).
  • Vetor v_3=(0,2,1).
O que é pedido:
  • Determinar se esses três vetores formam uma base de \mathbb{R}^3 (ou seja, confirmar se eles geram \mathbb{R}^3 e são linearmente independentes).

Passo 2

Conceito importante (explicado de maneira direta): para um conjunto de três vetores em \mathbb{R}^3 basta testar se eles são linearmente independentes. Se três vetores em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes, então eles também geram \mathbb{R}^3 e portanto formam uma base. Se forem linearmente dependentes, então não formam base.
Explicando “linearmente independentes” de um jeito prático: os vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=(0,0,0)
for \alpha=\beta=\gamma=0. Se existir solução com algum coeficiente não nulo, eles são dependentes.
Há duas formas simples e equivalentes de testar isso aqui:
  • Calcular o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas; se o determinante for diferente de zero, são independentes; se for zero, são dependentes.
  • Resolver explicitamente o sistema acima e ver se aparece solução não-trivial.
Vou usar as duas: primeiro o determinante (rápido), depois mostro explicitamente a combinação linear não-trivial (se o determinante der zero), para ficar bem didático.

Passo 3

Formo a matriz A cujas colunas são os vetores v_1,v_2,v_3:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Agora calculo o determinante de A. Vou expandir pela primeira linha (regra de Laplace pela primeira linha):
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[3pt]1 & 1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix} +0\cdot\det(\cdots).
Calculo cada menor:
\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[3pt]1 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-2\cdot1= -2,
\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix}=(-1)\cdot1-2\cdot0 = -1.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot(-2)-2\cdot(-1)+0 = -2 + 2 = 0.]

Passo 4

Interpretação do resultado do determinante: como \det(A)=0, as colunas de A (ou seja, os vetores v_1,v_2,v_3) são linearmente dependentes. Pelo que explicamos antes, isso já basta para concluir que S não forma uma base de \mathbb{R}^3.
Para ficar mais claro e didático, vou agora mostrar explicitamente uma combinação linear não-trivial que dá o vetor zero (assim você aprende a ver isso na prova).

Passo 5

Escrevo a condição de dependência como sistema:
\alpha(1,-1,0)+\beta(2,0,1)+\gamma(0,2,1)=(0,0,0).
Isso gera o sistema de equações (coordenação por coordenação):
\begin{cases} \alpha + 2\beta + 0\gamma = 0,\\[4pt] -\,\alpha + 0\beta + 2\gamma = 0,\\[4pt] 0\alpha + \beta + \gamma = 0. \end{cases}
Simplificando:
\begin{cases} \alpha + 2\beta = 0,\\[4pt] -\,\alpha + 2\gamma = 0,\\[4pt] \beta + \gamma = 0. \end{cases}
Resolvo por substituição:
  • Da primeira equação: \alpha = -2\beta.
  • Da terceira: \gamma = -\beta.
  • Verifico a segunda usando essas relações: -\alpha+2\gamma = -(-2\beta)+2(-\beta)=2\beta-2\beta=0, que é satisfeita para qualquer \beta. Logo há infinitas soluções com parâmetro \beta.
Escolho \beta=1 (qualquer valor não nulo serve) e obtenho:
\beta=1,\qquad \alpha=-2,\qquad \gamma=-1.
Verificação direta:
-2(1,-1,0)+1(2,0,1)-1(0,2,1)=(-2,2,0)+(2,0,1)+(0,-2,-1)=(0,0,0).
Essa é uma combinação linear não-trivial que produz o vetor zero, confirmando a dependência linear.]

Passo 6

Conclusão e motivação final curta: como existe combinação linear não-trivial que dá zero (e o determinante é zero), os vetores não são linearmente independentes. Portanto não é possível que gerem todo \mathbb{R}^3 como uma base. Isso responde a pergunta do enunciado.
Força aí — você já sabe o procedimento: montar a matriz com os vetores como colunas, calcular determinante rápido; se der zero, procurar explicitamente uma relação linear não-trivial como fizemos.

Resposta

Não. S não forma uma base para \mathbb{R}^3.

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