Exercício 2: Estime a resistência à fratura teórica de um material frágil quando se sabe que a fratura ocorre pela propagação de uma trinca superficial de forma elíptica com comprimento de
e raio de curvatura de
, quando é aplicada uma tensão de 1035 MPa ( 150.000 psi ).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
-
Dados fornecidos:
- Trinca superficial de forma elíptica com comprimento total
. - Raio de curvatura da ponta da trinca
. - Tensão aplicada que provoca a fratura
(ou ).
- Trinca superficial de forma elíptica com comprimento total
-
O que o enunciado pede:
- Estimar a “resistência à fratura teórica” do material.
(Interpreto isto como estimar a tensão local máxima no bisel da trinca — isto é, a tensão teórica necessária para romper as ligações no material — a partir da geometria elíptica da trinca e da tensão aplicada que provoca fratura.)
- Estimar a “resistência à fratura teórica” do material.
Passo 2
Escolha do método e ideia física (explicação didática e intuitiva).
- Ideia física: uma elipse afiada (trinca) produz concentração de tensão na ponta. Para uma elipse de semi-eixo maior
e semi-eixo menor a solução clássica de Inglis (para um corpo infinito sob tensão remota uniforme) dá que a tensão máxima na ponta é aproximadamente
- Para trincas afiadas o termo
é irrelevante comparado a , de modo que a ordem de grandeza é controlada por . - Relação geométrica entre os semi-eixos da elipse e o raio de curvatura da ponta: para uma elipse com semi-eixo maior
e semi-eixo menor , o raio de curvatura da ponta satisfaz
- Substituindo
na expressão de Inglis obtém-se uma forma prática
portanto
- Interpretação prática: quando a fratura ocorre a tensão local na ponta da trinca atinge a resistência teórica do material (força coesiva dos átomos). Assim, a estimativa pedida será
Passo 3
Definir as variáveis e converter unidades (muito importante para fazer as contas certinhas).
- Comprimento total dado
. Para a elipse tomo o semi-eixo maior
- Converter para metros:
- Raio de curvatura dado:
- Tensão aplicada em unidades SI:
Passo 4
Calcular o semi-eixo menor
da elipse a partir de
e
, usando
.
- Calcule
:
- Agora
- Em mm isso é
(Nota: mantive a unidade SI nas contas; converti a mm só para intuição.)
Passo 5
Calcular o fator de concentração de tensões e a tensão local na ponta.
- Usando a forma simplificada
- Calcular
:
- Então o fator entre parênteses é
- Finalmente a tensão na ponta é
- Converter para GPa:
Passo 6
Interpretação didática do resultado e observações de validade (o que esse número significa e limitações).
- Resultado: a estimativa da resistência teórica (tensão local máxima na ponta da trinca no momento da fratura) é aproximadamente
. - Significado físico: isso representa a tensão “teórica” necessária para romper ligações no material sem considerar plásticos, processos de blindagem,ou efeitos de microestrutura — é o valor da tensão local no ponto muito afiado da trinca quando a fratura macroscópica ocorre sob a tensão remota dada.
- Observações e limitações:
- A fórmula de Inglis supõe um corpo elástico linear e uma elipse em um meio “infinito” (ou suficientemente grande). Aqui usamos a aproximação clássica para ordem de grandeza.
- Para trincas muito afiadas a previsão é qualitativa, mas o valor (alguns 10 GPa) é coerente com estimativas de resistência coesiva teórica de materiais frágeis.
- Se fosse necessário o parâmetro de fratura no formalismo da Mecânica da Fratura Linear (o fator de intensidade
), usaríamos uma expressão do tipo com fator geométrico ; aqui optei por estimar a tensão teórica local via Inglis porque o enunciado deu diretamente a tensão aplicada e a geometria da ponta (raio de curvatura).