Exercício 2: Estime a resistência à fratura teórica de um material frágil quando se sabe que a fratura ocorre pela propagação de uma trinca superficial de forma elíptica com comprimento de 0,5 \mathrm{~mm} e raio de curvatura de 5 \times 10^{-3} \mathrm{~mm}, quando é aplicada uma tensão de 1035 MPa ( 150.000 psi ).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Trinca superficial de forma elíptica com comprimento total 0,5\\ \mathrm{mm}.
    • Raio de curvatura da ponta da trinca \rho = 5\times10^{-3}\\ \mathrm{mm}.
    • Tensão aplicada que provoca a fratura \sigma_{\text{aplicada}} = 1035\\ \mathrm{MPa} (ou 150\,000\\ \mathrm{psi}).
  • O que o enunciado pede:
    • Estimar a “resistência à fratura teórica” do material.
      (Interpreto isto como estimar a tensão local máxima no bisel da trinca — isto é, a tensão teórica necessária para romper as ligações no material — a partir da geometria elíptica da trinca e da tensão aplicada que provoca fratura.)

Passo 2

Escolha do método e ideia física (explicação didática e intuitiva).
  • Ideia física: uma elipse afiada (trinca) produz concentração de tensão na ponta. Para uma elipse de semi-eixo maior a e semi-eixo menor b a solução clássica de Inglis (para um corpo infinito sob tensão remota uniforme) dá que a tensão máxima na ponta é aproximadamente
\sigma_{\text{ponta}}=\sigma_{\text{aplicada}}\left(1+\frac{2a}{b}\right).
  • Para trincas afiadas o termo 1 é irrelevante comparado a 2a/b, de modo que a ordem de grandeza é controlada por 2a/b.
  • Relação geométrica entre os semi-eixos da elipse e o raio de curvatura da ponta: para uma elipse com semi-eixo maior a e semi-eixo menor b, o raio de curvatura da ponta \rho satisfaz
\rho=\frac{b^{2}}{a}\quad\Rightarrow\quad b=\sqrt{a\rho}.
  • Substituindo b na expressão de Inglis obtém-se uma forma prática
\frac{2a}{b}=2\sqrt{\frac{a}{\rho}},
portanto
\sigma_{\text{ponta}} \approx \sigma_{\text{aplicada}}\left(1+2\sqrt{\frac{a}{\rho}}\right).
  • Interpretação prática: quando a fratura ocorre a tensão local na ponta da trinca atinge a resistência teórica do material (força coesiva dos átomos). Assim, a estimativa pedida será
\sigma_{\text{teórica}}\simeq\sigma_{\text{ponta}}.ó

Passo 3

Definir as variáveis e converter unidades (muito importante para fazer as contas certinhas).
  • Comprimento total dado L=0,5\\ \mathrm{mm}. Para a elipse tomo o semi-eixo maior
a=\frac{L}{2}=\frac{0,5\\ \mathrm{mm}}{2}=0,25\\ \mathrm{mm}.
  • Converter para metros:
a=0,25\\ \mathrm{mm}=0{,}25\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=2{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Raio de curvatura dado:
\rho=5\times10^{-3}\\ \mathrm{mm}=5\times10^{-3}\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=5\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Tensão aplicada em unidades SI:
\sigma_{\text{aplicada}}=1035\\ \mathrm{MPa}=1035\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=1{,}035\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Calcular o semi-eixo menor b da elipse a partir de \rho e a, usando b=\sqrt{a\rho}.
  • Calcule a\rho:
a\rho=(2{,}5\times10^{-4})(5\times10^{-6})=12{,}5\times10^{-10}=1{,}25\times10^{-9}\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Agora
b=\sqrt{a\rho}=\sqrt{1{,}25\times10^{-9}}\\ \mathrm{m}=1{,}1180\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Em mm isso é
b\approx1{,}1180\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=0{,}1118\\ \mathrm{mm}.
(Nota: mantive a unidade SI nas contas; converti a mm só para intuição.)

Passo 5

Calcular o fator de concentração de tensões e a tensão local na ponta.
  • Usando a forma simplificada
\sigma_{\text{ponta}}=\sigma_{\text{aplicada}}\left(1+2\sqrt{\frac{a}{\rho}}\right).
  • Calcular \sqrt{a/\rho}:
\frac{a}{\rho}=\frac{2{,}5\times10^{-4}}{5\times10^{-6}}=50, \qquad \sqrt{\frac{a}{\rho}}=\sqrt{50}\approx7{,}0711.
  • Então o fator entre parênteses é
1+2\sqrt{\frac{a}{\rho}}=1+2\times7{,}0711=1+14{,}1422=15{,}1422.
  • Finalmente a tensão na ponta é
\sigma_{\text{ponta}}=1{,}035\times10^{9}\times15{,}1422\\ \mathrm{Pa}\approx1{,}5686\times10^{10}\\ \mathrm{Pa}.
  • Converter para GPa:
\sigma_{\text{ponta}}\approx15{,}7\\ \mathrm{GPa}.

Passo 6

Interpretação didática do resultado e observações de validade (o que esse número significa e limitações).
  • Resultado: a estimativa da resistência teórica (tensão local máxima na ponta da trinca no momento da fratura) é aproximadamente \displaystyle 15{,}7\\ \mathrm{GPa}.
  • Significado físico: isso representa a tensão “teórica” necessária para romper ligações no material sem considerar plásticos, processos de blindagem,ou efeitos de microestrutura — é o valor da tensão local no ponto muito afiado da trinca quando a fratura macroscópica ocorre sob a tensão remota dada.
  • Observações e limitações:
    • A fórmula de Inglis supõe um corpo elástico linear e uma elipse em um meio “infinito” (ou suficientemente grande). Aqui usamos a aproximação clássica para ordem de grandeza.
    • Para trincas muito afiadas a previsão é qualitativa, mas o valor (alguns 10 GPa) é coerente com estimativas de resistência coesiva teórica de materiais frágeis.
    • Se fosse necessário o parâmetro de fratura no formalismo da Mecânica da Fratura Linear (o fator de intensidade K_{\mathrm{I}c}), usaríamos uma expressão do tipo K_{\mathrm{I}c}=Y\,\sigma\sqrt{\pi a} com fator geométrico Y; aqui optei por estimar a tensão teórica local via Inglis porque o enunciado deu diretamente a tensão aplicada e a geometria da ponta (raio de curvatura).

Resposta

\sigma_{\text{teórica}}\approx15{,}7\\ \mathrm{GPa}ó

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