Exercício 5: Um condutor infinitamente longo, de raio a, está colocado de tal modo que seu eixo está ao longo do eixo z. O potencial magnético vetorial, devido à corrente contínua lo, que flui ao longo de âz no interior do condutor, é dado por
âz
. Calcule o vetor intensidade de campo magnético, no interior do condutor, a partir de
e confirme seu resultado aplicando a Lei de Ampère.
Passo 1
O enunciado dá um condutor cilíndrico infinito de raio
com eixo ao longo de
. Uma corrente total
percorre o interior do condutor no sentido
. O potencial vetor magnético, no interior do condutor, é
Pede-se: (1) calcular o campo magnético
no interior do condutor a partir de
e (2) confirmar o resultado usando a Lei de Ampère. Lista das informações relevantes:
-
está exclusivamente na direção e depende de . - O condutor é infinito e simétrico em torno do eixo
. - Queremos o campo para pontos no interior, isto é, para
, onde .
A resolução começa agora.
Passo 2
Usamos a relação fundamental entre potencial vetor e campo magnético:
Para aplicar isso de forma direta, escrevemos as componentes de
em coordenadas cartesianas:
,
,
, onde definimos a constante
Agora escrevo as fórmulas componentes do rotacional em coordenadas cartesianas:
Como
e
(potencial independente de
), estas fórmulas simplificam para
Passo 3
Calculamos as derivadas de
:
Logo as componentes de
são
Substituindo
obtemos
Portanto, em forma vetorial cartesiana
Passo 4
É útil escrever
em coordenadas cilíndricas
. Lembrando que
, temos
Ou seja, para
,
Isso mostra que
é azimutal e cresce linearmente com
dentro do condutor.
Passo 5
Agora confirmo usando a Lei de Ampère na forma integral:
Pelo enunciado tomamos
como a corrente total do condutor; pela simetria (e pela forma quadrática de
) inferimos que a densidade de corrente é uniforme no interior, isto é
A corrente envolvida por um círculo de raio
é
Escolhendo um caminho ampero: um círculo de raio
centrado no eixo, temos
e
. Assim
Pela Lei de Ampère:
que coincide exatamente com o
obtido pelo rotacional de
. A direção (azimutal) também é a esperada pelo regra da mão direita para corrente em
.