Exercício 5: Um condutor infinitamente longo, de raio a, está colocado de tal modo que seu eixo está ao longo do eixo z. O potencial magnético vetorial, devido à corrente contínua lo, que flui ao longo de âz no interior do condutor, é dado por \boldsymbol{A}= \frac{-I_{o}}{4 \pi a^{2}} \mu_{0}\left(x^{2}+y^{2}\right) âz \mathrm{Wb} / \mathrm{m}. Calcule o vetor intensidade de campo magnético, no interior do condutor, a partir de \mathbf{A} e confirme seu resultado aplicando a Lei de Ampère.

Passo 1

O enunciado dá um condutor cilíndrico infinito de raio a com eixo ao longo de z. Uma corrente total I_{0} percorre o interior do condutor no sentido +\hat{\mathbf{z}}. O potencial vetor magnético, no interior do condutor, é
\mathbf{A} = -\frac{I_{0}\mu_{0}}{4\pi a^{2}}\,(x^{2}+y^{2})\,\hat{\mathbf{z}}\quad\text{(Wb/m).}
Pede-se: (1) calcular o campo magnético \mathbf{B} no interior do condutor a partir de \mathbf{A} e (2) confirmar o resultado usando a Lei de Ampère. Lista das informações relevantes:
  • \mathbf{A} está exclusivamente na direção \hat{\mathbf{z}} e depende de x^{2}+y^{2}.
  • O condutor é infinito e simétrico em torno do eixo z.
  • Queremos o campo para pontos no interior, isto é, para r< a, onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
    A resolução começa agora.

Passo 2

Usamos a relação fundamental entre potencial vetor e campo magnético:
\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}.
Para aplicar isso de forma direta, escrevemos as componentes de \mathbf{A} em coordenadas cartesianas: A_x=0, A_y=0, A_z=C(x^2+y^2), onde definimos a constante
C \equiv -\frac{I_{0}\mu_{0}}{4\pi a^{2}}.
Agora escrevo as fórmulas componentes do rotacional em coordenadas cartesianas:
(\nabla\times\mathbf{A})_x = \frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z},\qquad (\nabla\times\mathbf{A})_y = \frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x},\qquad (\nabla\times\mathbf{A})_z = \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}.
Como A_x=A_y=0 e \partial/\partial z=0 (potencial independente de z), estas fórmulas simplificam para
(\nabla\times\mathbf{A})_x = \frac{\partial A_z}{\partial y},\qquad (\nabla\times\mathbf{A})_y = -\frac{\partial A_z}{\partial x},\qquad (\nabla\times\mathbf{A})_z = 0.

Passo 3

Calculamos as derivadas de A_z=C(x^2+y^2):
\frac{\partial A_z}{\partial x}=2C x,\qquad \frac{\partial A_z}{\partial y}=2C y.
Logo as componentes de \mathbf{B} são
B_x = 2C y,\qquad B_y = -2C x,\qquad B_z=0.
Substituindo C obtemos
B_x = 2\!\left(-\frac{I_{0}\mu_{0}}{4\pi a^{2}}\right)y = -\frac{I_{0}\mu_{0}}{2\pi a^{2}}\,y,
B_y = -2\!\left(-\frac{I_{0}\mu_{0}}{4\pi a^{2}}\right)x = \frac{I_{0}\mu_{0}}{2\pi a^{2}}\,x.
Portanto, em forma vetorial cartesiana
\mathbf{B} = \frac{I_{0}\mu_{0}}{2\pi a^{2}}\big(-y\,\hat{\mathbf{x}} + x\,\hat{\mathbf{y}}\big).

Passo 4

É útil escrever \mathbf{B} em coordenadas cilíndricas (r,\varphi,z). Lembrando que r\hat{\boldsymbol{\varphi}} = -y\,\hat{\mathbf{x}} + x\,\hat{\mathbf{y}}, temos
\mathbf{B} = \frac{I_{0}\mu_{0}}{2\pi a^{2}}\,r\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}.
Ou seja, para r< a,
B_{\varphi}(r)=\frac{\mu_{0}I_{0}}{2\pi a^{2}}\,r,\qquad B_{r}=0,\qquad B_{z}=0.
Isso mostra que \mathbf{B} é azimutal e cresce linearmente com r dentro do condutor.

Passo 5

Agora confirmo usando a Lei de Ampère na forma integral:
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_{0} I_{\text{enc}}.
Pelo enunciado tomamos I_{0} como a corrente total do condutor; pela simetria (e pela forma quadrática de \mathbf{A}) inferimos que a densidade de corrente é uniforme no interior, isto é
\mathbf{J} = \frac{I_{0}}{\pi a^{2}}\,\hat{\mathbf{z}}.
A corrente envolvida por um círculo de raio r<a é
I_{\text{enc}} = J\cdot(\text{área}) = \frac{I_{0}}{\pi a^{2}}\cdot\pi r^{2} = I_{0}\frac{r^{2}}{a^{2}}.á
Escolhendo um caminho ampero: um círculo de raio r centrado no eixo, temos \mathbf{B}=B_{\varphi}(r)\hat{\boldsymbol{\varphi}} e d\boldsymbol{\ell}=r\,d\varphi\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}. Assim
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = B_{\varphi}(r)\cdot 2\pi r.
Pela Lei de Ampère:
B_{\varphi}(r)\,2\pi r = \mu_{0} I_{0}\frac{r^{2}}{a^{2}} \quad\Rightarrow\quad B_{\varphi}(r) = \frac{\mu_{0} I_{0}}{2\pi a^{2}}\,r,
que coincide exatamente com o \mathbf{B} obtido pelo rotacional de \mathbf{A}. A direção (azimutal) também é a esperada pelo regra da mão direita para corrente em +\hat{\mathbf{z}}.

Resposta

\mathbf{B}(r)=\frac{\mu_{0}I_{0}}{2\pi a^{2}}\,r\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}\quad (r<a)
\mathbf{B}(x,y)=\frac{\mu_{0}I_{0}}{2\pi a^{2}}\big(-y\,\hat{\mathbf{x}}+x\,\hat{\mathbf{y}}\big)\quad (x^{2}+y^{2}<a^{2})

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