15.198 As pás de 36,6 \mathrm{~m} de uma turbina geradora a vento giram com velocidade angular constante \omega_{1}=25 \mathrm{rpm}. Sabendo que na posição considerada toda a peça está girando em torno do eixo y com velocidade angular constante \omega_{2}=0,1 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, determine (a) a aceleração angular das pás, (b) a velocidade e a aceleração da extremidade B da pá.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) A aceleração angular das pás no instante considerado.
(b) A velocidade e a aceleração da extremidade B da pá.
Informações fornecidas: \;L=36{,}6\\ \mathrm{m} (comprimento da pá), \;\omega_1=25\\ \mathrm{rpm} (velocidade angular de rotação das pás) e \;\omega_2=0{,}1\\ \mathrm{rad/s} (velocidade angular, constante, de toda a peça em torno do eixo \;y).
Importante: o enunciado fala de “na posição considerada”, o que normalmente significa que há uma figura indicando a orientação da pá (direção do comprimento da pá) e a posição do ponto B naquele instante. Essa orientação é essencial para obter as direções dos vetores \boldsymbol{\omega}_1 e do vetor posição \mathbf{r}_B e, portanto, para calcular numericamente a velocidade e a aceleração de B. Como a figura/posição não foi enviada, não é possível obter os valores numéricos finais pedidos para (b) de forma única.
A seguir eu explico passo a passo a teoria e mostro como calcular simbolicamente; no final dou um exemplo ilustrativo (assumindo uma orientação) para você ver o procedimento numérico. Mas atenção: esse exemplo é apenas ilustrativo — sem a figura do enunciado não posso afirmar que seja a configuração real do problema.
Passo 2
Primeiro convertemos \omega_1 de \mathrm{rpm} para \mathrm{rad/s}. A conversão usa a relação \;1\\ \text{rev} = 2\pi\\ \text{rad} e 1\\ \text{min}=60\\ \text{s}. Então
Guarde esse valor para os cálculos numéricos se você souber a orientação.
Passo 3
Vamos entender a aceleração angular das pás. Regra-chave que você precisa aprender (e que cai direto na prova):
Se um corpo tem uma velocidade angular total dada por soma de componentes (por exemplo, rotação relativa \boldsymbol{\omega}_1 mais rotação do conjunto \boldsymbol{\omega}_2), o vetor velocidade angular total é
No nosso caso \boldsymbol{\omega}_2=\omega_2\,\mathbf{e}_y (dado) e \boldsymbol{\omega}_1=\omega_1\,\mathbf{e}_1, onde \mathbf{e}_1 é o versor ao longo do eixo de rotação das pás (a direção de \boldsymbol{\omega}_1 depende da figura). As magnitudes \omega_1 e \omega_2 são constantes pelo enunciado, mas a direção \mathbf{e}_1 pode variar porque o conjunto gira em torno de y.
Resultado importante (identidade útil): a derivada temporal de um vetor de magnitude constante cujo eixo está girando com velocidade \boldsymbol{\omega}_2 é
Explicação em linguagem simples: mesmo com magnitudes constantes, se o eixo de \boldsymbol{\omega}_1 muda de direção por causa de \boldsymbol{\omega}_2, aparece uma aceleração angular perpendicular aos dois e proporcional ao produto \omega_1\omega_2.
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{e}_y e \mathbf{e}_1. Para calcular numericamente \boldsymbol{\alpha} você precisa conhecer \mathbf{e}_1 (i.e., a figura).
Passo 4
Agora a velocidade e a aceleração da extremidade B. A ferramenta padrão para corpo rígido que você precisa decorar:
Velocidade linear de um ponto B no corpo (referido a um ponto fixo O do corpo):
onde \mathbf{r}_B é o vetor posição de B relativo ao ponto O usado (normalmente o centro de rotação). Aqui \boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\omega}_2+\boldsymbol{\omega}_1.
A aceleração absoluta de B (no referencial inercial) é
Obtenha \mathbf{r}_B a partir da figura (componentes em \mathbf{e}_x,\mathbf{e}_y,\mathbf{e}_z).
Calcule \mathbf{v}_B=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_B fazendo os produtos vetoriais (use a regra da mão direita ou a tabela de produtos dos versores).
Calcule \mathbf{a}_B=\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r}_B + \boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_B). Faça primeiro \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_B para obter \mathbf{v}_B e depois \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}_B.
Sem a figura, os vetores unitários e componentes de \mathbf{r}_B são indeterminados, por isso não se pode dar um valor numérico único para \mathbf{v}_B e \mathbf{a}_B.
Passo 5
Para você ver o procedimento numérico, suponha ILUSTRATIVAMENTE que, no instante considerado,
o eixo de rotação das pás \boldsymbol{\omega}_1 aponta na direção de \mathbf{e}_z (i.e., \mathbf{e}_1=\mathbf{e}_z), e
a extremidade B está em \mathbf{r}_B=L\,\mathbf{e}_x (pá estendida ao longo de x).
Essas escolhas são só para exemplificar o cálculo; substitua pelas direções da figura do seu enunciado para obter a resposta correta.
No nosso exemplo \boldsymbol{\alpha} é paralelo a \mathbf{e}_x e \mathbf{r}_B=L\mathbf{e}_x, então \boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r}_B=\mathbf{0}. O termo centrípeto dá:
Repare: nesse exemplo a aceleração é quase totalmente centrípeta na direção -\mathbf{e}_x e a componente tangencial (devida a \boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r}_B) anulou-se porque \boldsymbol{\alpha}\parallel\mathbf{r}_B.
Passo 6
Resumo do que você precisa fazer quando tiver a figura do enunciado:
Identifique a direção de \boldsymbol{\omega}_1 (versor \mathbf{e}_1), confirme que \boldsymbol{\omega}_2=\omega_2\mathbf{e}_y.
Escreva \mathbf{r}_B em componentes (a partir da figura).
Calcule \mathbf{v}_B=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_B e \mathbf{a}_B=\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r}_B+\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_B).
Se quiser, me envie a figura/posição (ou diga qual é a orientação de \mathbf{r}_B e de \mathbf{e}_1) que eu já faço os cálculos numéricos completos para você.
Resposta
Impossível determinar numericamente \mathbf{v}_B e \mathbf{a}_B sem a figura/sem a posição do ponto B, porque faltam a direção do eixo de \boldsymbol{\omega}_1 (versor \mathbf{e}_1) e as componentes de \mathbf{r}_B.