15.198 As pás de 36,6 \mathrm{~m} de uma turbina geradora a vento giram com velocidade angular constante \omega_{1}=25 \mathrm{rpm}. Sabendo que na posição considerada toda a peça está girando em torno do eixo y com velocidade angular constante \omega_{2}=0,1 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, determine (a) a aceleração angular das pás, (b) a velocidade e a aceleração da extremidade B da pá.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) A aceleração angular das pás no instante considerado.
  2. (b) A velocidade e a aceleração da extremidade B da pá.
Informações fornecidas:
\;L=36{,}6\\ \mathrm{m} (comprimento da pá), \;\omega_1=25\\ \mathrm{rpm} (velocidade angular de rotação das pás) e \;\omega_2=0{,}1\\ \mathrm{rad/s} (velocidade angular, constante, de toda a peça em torno do eixo \;y).
Importante: o enunciado fala de “na posição considerada”, o que normalmente significa que há uma figura indicando a orientação da pá (direção do comprimento da pá) e a posição do ponto B naquele instante. Essa orientação é essencial para obter as direções dos vetores \boldsymbol{\omega}_1 e do vetor posição \mathbf{r}_B e, portanto, para calcular numericamente a velocidade e a aceleração de B. Como a figura/posição não foi enviada, não é possível obter os valores numéricos finais pedidos para (b) de forma única.
A seguir eu explico passo a passo a teoria e mostro como calcular simbolicamente; no final dou um exemplo ilustrativo (assumindo uma orientação) para você ver o procedimento numérico. Mas atenção: esse exemplo é apenas ilustrativo — sem a figura do enunciado não posso afirmar que seja a configuração real do problema.

Passo 2

Primeiro convertemos \omega_1 de \mathrm{rpm} para \mathrm{rad/s}. A conversão usa a relação \;1\\ \text{rev} = 2\pi\\ \text{rad} e 1\\ \text{min}=60\\ \text{s}. Então
\omega_1 = 25\\ \frac{\text{rev}}{\min} = 25\cdot\frac{2\pi}{60}\\ \mathrm{rad/s} = \frac{5\pi}{6}\\ \mathrm{rad/s}\approx 2{,}6179939\\ \mathrm{rad/s}.
Guarde esse valor para os cálculos numéricos se você souber a orientação.

Passo 3

Vamos entender a aceleração angular das pás. Regra-chave que você precisa aprender (e que cai direto na prova):
  • Se um corpo tem uma velocidade angular total dada por soma de componentes (por exemplo, rotação relativa \boldsymbol{\omega}_1 mais rotação do conjunto \boldsymbol{\omega}_2), o vetor velocidade angular total é
\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\omega}_2+\boldsymbol{\omega}_1.
  • A aceleração angular absoluta é o derivada temporal desse vetor no referencial inercial:
\boldsymbol{\alpha}=\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}.
No nosso caso \boldsymbol{\omega}_2=\omega_2\,\mathbf{e}_y (dado) e \boldsymbol{\omega}_1=\omega_1\,\mathbf{e}_1, onde \mathbf{e}_1 é o versor ao longo do eixo de rotação das pás (a direção de \boldsymbol{\omega}_1 depende da figura). As magnitudes \omega_1 e \omega_2 são constantes pelo enunciado, mas a direção \mathbf{e}_1 pode variar porque o conjunto gira em torno de y.
Resultado importante (identidade útil): a derivada temporal de um vetor de magnitude constante cujo eixo está girando com velocidade \boldsymbol{\omega}_2 é
\frac{d}{dt}(\omega_1\mathbf{e}_1)=\omega_1\frac{d\mathbf{e}_1}{dt}=\omega_1(\boldsymbol{\omega}_2\times\mathbf{e}_1).
Portanto, como \omega_2 é constante,
\boldsymbol{\alpha}=\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} =\frac{d}{dt}(\boldsymbol{\omega}_2)+\frac{d}{dt}(\boldsymbol{\omega}_1) = \mathbf{0} + \omega_1(\boldsymbol{\omega}_2\times\mathbf{e}_1).
Escrevendo \boldsymbol{\omega}_1=\omega_1\mathbf{e}_1 e \boldsymbol{\omega}_2=\omega_2\mathbf{e}_y, temos a forma compacta
\boxed{\;\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\omega}_2\times\boldsymbol{\omega}_1 =\omega_1\omega_2\;(\mathbf{e}_y\times\mathbf{e}_1)\;.}
Explicação em linguagem simples: mesmo com magnitudes constantes, se o eixo de \boldsymbol{\omega}_1 muda de direção por causa de \boldsymbol{\omega}_2, aparece uma aceleração angular perpendicular aos dois e proporcional ao produto \omega_1\omega_2.
Também útil é a magnitude:
\big|\boldsymbol{\alpha}\big|=\omega_1\omega_2\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{e}_y e \mathbf{e}_1. Para calcular numericamente \boldsymbol{\alpha} você precisa conhecer \mathbf{e}_1 (i.e., a figura).

Passo 4

Agora a velocidade e a aceleração da extremidade B. A ferramenta padrão para corpo rígido que você precisa decorar:
  • Velocidade linear de um ponto B no corpo (referido a um ponto fixo O do corpo):
\boxed{\; \mathbf{v}_B=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_B \; }
onde \mathbf{r}_B é o vetor posição de B relativo ao ponto O usado (normalmente o centro de rotação). Aqui \boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\omega}_2+\boldsymbol{\omega}_1.
  • A aceleração absoluta de B (no referencial inercial) é
\boxed{\; \mathbf{a}_B=\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r}_B + \boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_B)\; }.
Este é um resultado padrão (aceleração tangencial + aceleração centrípeta/convectiva).
Passo a passo prático para aplicar na prova:
  1. Escreva \boldsymbol{\omega}=\omega_2\mathbf{e}_y+\omega_1\mathbf{e}_1.
  2. Escreva \boldsymbol{\alpha}=\omega_1\omega_2(\mathbf{e}_y\times\mathbf{e}_1).
  3. Obtenha \mathbf{r}_B a partir da figura (componentes em \mathbf{e}_x,\mathbf{e}_y,\mathbf{e}_z).
  4. Calcule \mathbf{v}_B=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_B fazendo os produtos vetoriais (use a regra da mão direita ou a tabela de produtos dos versores).
  5. Calcule \mathbf{a}_B=\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r}_B + \boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_B). Faça primeiro \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_B para obter \mathbf{v}_B e depois \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}_B.
Sem a figura, os vetores unitários e componentes de \mathbf{r}_B são indeterminados, por isso não se pode dar um valor numérico único para \mathbf{v}_B e \mathbf{a}_B.

Passo 5

Para você ver o procedimento numérico, suponha ILUSTRATIVAMENTE que, no instante considerado,
  • o eixo de rotação das pás \boldsymbol{\omega}_1 aponta na direção de \mathbf{e}_z (i.e., \mathbf{e}_1=\mathbf{e}_z), e
  • a extremidade B está em \mathbf{r}_B=L\,\mathbf{e}_x (pá estendida ao longo de x).
Essas escolhas são só para exemplificar o cálculo; substitua pelas direções da figura do seu enunciado para obter a resposta correta.
Com essas hipóteses:
\boldsymbol{\omega}=\omega_2\mathbf{e}_y+\omega_1\mathbf{e}_z.
Usando os valores de \omega_1 e \omega_2 (convertidos no Passo 2),
\omega_1\approx 2{,}6179939\\ \mathrm{rad/s},\qquad \omega_2=0{,}1\\ \mathrm{rad/s}.
Calcule a aceleração angular (a) neste exemplo:
\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\omega}_2\times\boldsymbol{\omega}_1 =\omega_2\mathbf{e}_y\times(\omega_1\mathbf{e}_z) =\omega_1\omega_2(\mathbf{e}_y\times\mathbf{e}_z) =\omega_1\omega_2\,\mathbf{e}_x.
Numérico:
\boxed{\;\boldsymbol{\alpha}\approx (2{,}6179939)(0{,}1)\,\mathbf{e}_x \approx 0{,}2617994\\ \mathbf{e}_x\\ \mathrm{rad/s^2}.}
Agora a velocidade de B:
\mathbf{v}_B=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_B =(\omega_2\mathbf{e}_y+\omega_1\mathbf{e}_z)\times(L\mathbf{e}_x) =L\omega_2(\mathbf{e}_y\times\mathbf{e}_x)+L\omega_1(\mathbf{e}_z\times\mathbf{e}_x).
Usando \mathbf{e}_y\times\mathbf{e}_x=-\mathbf{e}_z e \mathbf{e}_z\times\mathbf{e}_x=\mathbf{e}_y:
\mathbf{v}_B = -L\omega_2\,\mathbf{e}_z + L\omega_1\,\mathbf{e}_y.
Numéricamente:
L\omega_1=36{,}6\cdot2{,}6179939\approx 95{,}8186\\ \mathrm{m/s},\qquad L\omega_2=36{,}6\cdot0{,}1=3{,}66\\ \mathrm{m/s}.
Logo
\boxed{\;\mathbf{v}_B\approx 95{,}82\,\mathbf{e}_y - 3{,}66\,\mathbf{e}_z\\ \mathrm{m/s}.}
Velocidade escalar \;|\mathbf{v}_B|\approx \sqrt{95{,}82^2+3{,}66^2}\approx 95{,}87\\ \mathrm{m/s}.
Agora a aceleração de B:
\mathbf{a}_B=\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r}_B + \boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_B).
No nosso exemplo \boldsymbol{\alpha} é paralelo a \mathbf{e}_x e \mathbf{r}_B=L\mathbf{e}_x, então \boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r}_B=\mathbf{0}. O termo centrípeto dá:
\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_B) = -L(\omega_1^2+\omega_2^2)\,\mathbf{e}_x,
logo numericamente
\omega_1^2\approx (2{,}6179939)^2\approx 6{,}8539,\qquad \omega_2^2=0{,}01,
L(\omega_1^2+\omega_2^2)\approx 36{,}6\cdot(6{,}8539+0{,}01)\approx 251{,}18\\ \mathrm{m/s^2}.
Portanto
\boxed{\;\mathbf{a}_B\approx -251{,}18\,\mathbf{e}_x\\ \mathrm{m/s^2}\;} \quad\text{(no exemplo).}
Repare: nesse exemplo a aceleração é quase totalmente centrípeta na direção -\mathbf{e}_x e a componente tangencial (devida a \boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r}_B) anulou-se porque \boldsymbol{\alpha}\parallel\mathbf{r}_B.

Passo 6

Resumo do que você precisa fazer quando tiver a figura do enunciado:
  • Identifique a direção de \boldsymbol{\omega}_1 (versor \mathbf{e}_1), confirme que \boldsymbol{\omega}_2=\omega_2\mathbf{e}_y.
  • Escreva \boldsymbol{\alpha}=\omega_1\omega_2(\mathbf{e}_y\times\mathbf{e}_1).
  • Escreva \mathbf{r}_B em componentes (a partir da figura).
  • Calcule \mathbf{v}_B=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_B e \mathbf{a}_B=\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r}_B+\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_B).
    Se quiser, me envie a figura/posição (ou diga qual é a orientação de \mathbf{r}_B e de \mathbf{e}_1) que eu já faço os cálculos numéricos completos para você.

Resposta

Impossível determinar numericamente \mathbf{v}_B e \mathbf{a}_B sem a figura/sem a posição do ponto B, porque faltam a direção do eixo de \boldsymbol{\omega}_1 (versor \mathbf{e}_1) e as componentes de \mathbf{r}_B.

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