Exercício 7 (PETROBRAS 2011): Um fio reto infinitamente longo de seção reta circular é percorrido por uma corrente elétrica de valor constante. Considere \mathrm{H}_{1} o módulo da intensidade de campo magnético medido no interior desse fio a uma distância r do centro da seção reta. Na hipótese de a seção reta do fio ter seu raio duplicado, mantendo a mesma intensidade de corrente, um segundo valor de intensidade do módulo do campo magnético \mathrm{H}_{2} aparecerá no mesmo ponto, distante r do centro da seção. Determine, por meio da lei de Àmpere, a expressão de \mathrm{H}_{2} em relação a \mathrm{H}_{1}.

Passo 1

O enunciado dá um fio reto infinitamente longo, de seção circular, percorrido por uma corrente elétrica de valor constante I. Foi medido o módulo do campo magnético no interior do fio, a uma distância r do centro, e esse valor é chamado de \mathrm{H}_{1}. Depois, a seção do fio tem seu raio duplicado (ou seja, o raio passa de a para 2a), mantendo-se a mesma corrente I. No mesmo ponto (mesma distância r do centro) mede-se um novo módulo do campo magnético, chamado \mathrm{H}_{2}.
O que o exercício pede: determinar \mathrm{H}_{2} em função de \mathrm{H}_{1}.
Informações relevantes listadas:
  • Corrente total I permanece a mesma.
  • O ponto de observação está a uma distância \;r\; do centro e está no interior do fio (logo r<a, e também r<2a).
  • Pressupõe-se distribuição de corrente uniforme na seção do fio (densidade de corrente constante), hipótese típica para usar a lei de Ampère neste problema.

Passo 2

Vamos usar a lei de Ampère. Vou explicar primeiro o que ela diz e como aplicar aqui. A lei de Ampère, na forma integral, é:
\oint \vec{H}\cdot d\vec{\ell} = I_{\text{enc}},
onde \oint \vec{H}\cdot d\vec{\ell} é a integral do campo magnético \vec{H} ao longo de um caminho fechado (contorno) escolhido e I_{\text{enc}} é a corrente elétrica total que atravessa a superfície limitadas por esse contorno (corrente encurralada). Para um fio com simetria cilíndrica e corrente estacionária, escolhemos como caminho uma circunferência de raio r centrada no eixo do fio, porque o campo \vec{H} tem direção tangencial à circunferência e mesmo módulo em todos os pontos dessa circunferência.

Passo 3

Aplicando a lei de Ampère ao caminho circular de raio r, como \vec{H} é tangencial e de módulo constante na circunferência, a integral fica:
\oint \vec{H}\cdot d\vec{\ell} = H(r) \cdot (2\pi r).
Aqui H(r) é o módulo do campo magnético na distância r do centro e 2\pi r é o comprimento da circumferência onde integramos. Assim a lei de Ampère dá:
H(r)\,(2\pi r) = I_{\text{enc}}.
Para achar H(r) precisamos calcular I_{\text{enc}}, a corrente que passa dentro do círculo de raio r.

Passo 4

Explico agora como calcular I_{\text{enc}} usando a hipótese de densidade de corrente uniforme. Definimos a densidade de corrente (magnitude) por
J=\frac{I}{\text{área da seção}}.áçã
Se o raio original do fio é a, a área da seção é \pi a^{2} e
J=\frac{I}{\pi a^{2}}.
A corrente contida dentro do círculo de raio r é essa densidade multiplicada pela área do círculo de raio r:
I_{\text{enc}} = J \cdot (\pi r^{2}) = \frac{I}{\pi a^{2}} \cdot \pi r^{2} = I\,\frac{r^{2}}{a^{2}}.
Esse cálculo usa apenas a proporção das áreas porque a corrente está distribuída uniformemente sobre a seção.

Passo 5

Agora substituímos I_{\text{enc}} na expressão da lei de Ampère e obtemos H no caso inicial (quando o raio do fio é a). Assim:
H_{1}\,(2\pi r) = I\,\frac{r^{2}}{a^{2}}.
Isolando H_{1}:
H_{1} = \frac{I}{2\pi r}\cdot\frac{r^{2}}{a^{2}} = \frac{I\,r}{2\pi a^{2}}.
Portanto o módulo do campo dentro do fio, a distância r do centro, é proporcional a r e inversamente proporcional a a^{2}.

Passo 6

Agora repetimos o mesmo raciocínio depois que o raio do fio é duplicado: o novo raio é a' = 2a. A corrente total I continua a mesma, e assumindo novamente densidade uniforme na nova seção, a nova densidade é
J' = \frac{I}{\pi (a')^{2}} = \frac{I}{\pi (2a)^{2}} = \frac{I}{4\pi a^{2}}.
A corrente encurralada dentro do círculo de raio r (o ponto de medição não mudou) passa a ser
I_{\text{enc}}' = J' \cdot (\pi r^{2}) = \frac{I}{4\pi a^{2}}\cdot\pi r^{2} = I\,\frac{r^{2}}{4a^{2}}.

Passo 7

Aplicando Ampère para o caso novo obtemos:
H_{2}\,(2\pi r) = I_{\text{enc}}' = I\,\frac{r^{2}}{4a^{2}}.
Isolando H_{2}:
H_{2} = \frac{I}{2\pi r}\cdot\frac{r^{2}}{4a^{2}} = \frac{I\,r}{8\pi a^{2}}.

Passo 8

Compare agora H_{2} com H_{1}. Temos de \;H_{1}=\dfrac{I\,r}{2\pi a^{2}}\; e \;H_{2}=\dfrac{I\,r}{8\pi a^{2}}\;. Fazendo a razão:
\frac{H_{2}}{H_{1}} = \frac{\dfrac{I\,r}{8\pi a^{2}}}{\dfrac{I\,r}{2\pi a^{2}}} = \frac{1}{8}\cdot\frac{2}{1} = \frac{1}{4}.
Logo:
H_{2} = \frac{H_{1}}{4}.

Resposta

\displaystyle H_{2}=\frac{H_{1}}{4}

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