Exercício 7 (PETROBRAS 2011): Um fio reto infinitamente longo de seção reta circular é percorrido por uma corrente elétrica de valor constante. Considere
o módulo da intensidade de campo magnético medido no interior desse fio a uma distância r do centro da seção reta. Na hipótese de a seção reta do fio ter seu raio duplicado, mantendo a mesma intensidade de corrente, um segundo valor de intensidade do módulo do campo magnético
aparecerá no mesmo ponto, distante r do centro da seção. Determine, por meio da lei de Àmpere, a expressão de
em relação a
.
Passo 1
O enunciado dá um fio reto infinitamente longo, de seção circular, percorrido por uma corrente elétrica de valor constante
. Foi medido o módulo do campo magnético no interior do fio, a uma distância
do centro, e esse valor é chamado de
. Depois, a seção do fio tem seu raio duplicado (ou seja, o raio passa de
para
), mantendo-se a mesma corrente
. No mesmo ponto (mesma distância
do centro) mede-se um novo módulo do campo magnético, chamado
.
O que o exercício pede: determinar em função de
.
Informações relevantes listadas:
O que o exercício pede: determinar
Informações relevantes listadas:
- Corrente total
permanece a mesma. - O ponto de observação está a uma distância
do centro e está no interior do fio (logo , e também ). - Pressupõe-se distribuição de corrente uniforme na seção do fio (densidade de corrente constante), hipótese típica para usar a lei de Ampère neste problema.
Passo 2
Vamos usar a lei de Ampère. Vou explicar primeiro o que ela diz e como aplicar aqui. A lei de Ampère, na forma integral, é:
onde
é a integral do campo magnético
ao longo de um caminho fechado (contorno) escolhido e
é a corrente elétrica total que atravessa a superfície limitadas por esse contorno (corrente encurralada). Para um fio com simetria cilíndrica e corrente estacionária, escolhemos como caminho uma circunferência de raio
centrada no eixo do fio, porque o campo
tem direção tangencial à circunferência e mesmo módulo em todos os pontos dessa circunferência.
Passo 3
Aplicando a lei de Ampère ao caminho circular de raio
, como
é tangencial e de módulo constante na circunferência, a integral fica:
Aqui
é o módulo do campo magnético na distância
do centro e
é o comprimento da circumferência onde integramos. Assim a lei de Ampère dá:
Para achar
precisamos calcular
, a corrente que passa dentro do círculo de raio
.
Passo 4
Explico agora como calcular
usando a hipótese de densidade de corrente uniforme. Definimos a densidade de corrente (magnitude) por
Se o raio original do fio é
, a área da seção é
e
A corrente contida dentro do círculo de raio
é essa densidade multiplicada pela área do círculo de raio
:
Esse cálculo usa apenas a proporção das áreas porque a corrente está distribuída uniformemente sobre a seção.
Passo 5
Agora substituímos
na expressão da lei de Ampère e obtemos
no caso inicial (quando o raio do fio é
). Assim:
Isolando
:
Portanto o módulo do campo dentro do fio, a distância
do centro, é proporcional a
e inversamente proporcional a
.
Passo 6
Agora repetimos o mesmo raciocínio depois que o raio do fio é duplicado: o novo raio é
. A corrente total
continua a mesma, e assumindo novamente densidade uniforme na nova seção, a nova densidade é
A corrente encurralada dentro do círculo de raio
(o ponto de medição não mudou) passa a ser
Passo 7
Aplicando Ampère para o caso novo obtemos:
Isolando
:
Passo 8
Compare agora
com
. Temos de
e
. Fazendo a razão:
Logo: