Uma placa quadrada com lado 2 r é soldada a um eixo vertical que gira com velocidade angular constante \omega_{1}. Simultaneamente, a barra A B, de comprimento r, gira em torno do centro da placa com velocidade angular constante \omega_{2} em relação à placa. Para a posição da placa ilustrada, determine a aceleração da extremidade B da barra se
\theta=0

Passo 1

O enunciado (sem a figura enviada) diz: uma placa quadrada com lado 2r está soldada a um eixo vertical que gira com velocidade angular constante \omega_{1}. A barra AB, de comprimento r, gira em torno do centro da placa com velocidade angular constante \omega_{2} em relação à placa. Para a posição ilustrada (não recebida aqui) pede-se a aceleração da extremidade B da barra quando \theta=0.
Informações relevantes fornecidas:
\text{lado da placa} = 2r,\qquad |AB|=r,\qquad \omega_{1}=\text{constante},\qquad \omega_{2}=\text{constante},\qquad \theta=0.
Observação importante: a figura mencionada no enunciado não foi enviada. Sem a figura eu não posso afirmar qual é a direção cartesiana de \theta=0 (por exemplo, se a barra está apontando para a direita, para cima, etc.). Portanto não posso dar a aceleração em componentes cartesianas relativas a um eixo x,y específico mostrado na figura. Posso, no entanto, determinar a aceleração em forma vetorial geral (direção radial/tangencial) e o seu módulo, que é o resultado necessário para aplicar no caso concreto assim que você confirmar qual direção corresponde a \theta=0.

Passo 2

Modelagem e escolha de vetores unitários: tome o centro da placa (ponto de rotação) como origem O. Defina:
\mathbf{e}_r = \text{vetor unitário que aponta de }O\text{ para }B\quad\text{(direção radial da barra)},áçã
\mathbf{e}_\theta = \text{vetor unitário tangencial, obtido rotacionando }\mathbf{e}_r\text{ em }90^\circ\text{ no sentido positivo},á
\mathbf{k} = \text{vetor unitário vertical (eixo de rotação)}.áçã
A posição de B relativa a O é
\mathbf{r}_{B/O} = r\,\mathbf{e}_r.
Explicação didática: usamos \mathbf{e}_r e \mathbf{e}_\theta porque o movimento é plano (horizontal) e é natural separar as componentes radial (para dentro/fora) e tangencial (perpendicular à radial). Isso facilita ver as acelerações centrípetas e tangenciais.

Passo 3

Velocidade absoluta de B. Raciocínio sobre velocidades angulares:
  • A placa gira com \omega_{1} em torno de \mathbf{k}.
  • A barra gira em relação à placa com \omega_{2} em torno de \mathbf{k}.
    Como ambas as rotações são em torno do mesmo eixo e os sentidos somam (o enunciado indica rotações simultâneas), a velocidade angular absoluta da barra em relação ao referencial inercial é a soma escalar:
\boldsymbol{\Omega} = (\omega_{1}+\omega_{2})\,\mathbf{k}.
Explicação: velocidades angulares em torno do mesmo eixo se somam vetorialmente; aqui são colineares então somam como escalares.
A velocidade de um ponto fixo na barra (como B, que está a distância fixa r de O) é dada por
\mathbf{v}_B = \boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{r}_{B/O}.
Substituindo,
\mathbf{v}_B = (\omega_{1}+\omega_{2})\,\mathbf{k}\times (r\,\mathbf{e}_r) = r(\omega_{1}+\omega_{2})\,\mathbf{e}_\theta.
Interpretação: a velocidade é puramente tangencial, de módulo r(\omega_{1}+\omega_{2}).

Passo 4

Aceleração absoluta de B. Como \omega_{1} e \omega_{2} são constantes, \boldsymbol{\Omega} é constante no tempo, logo não há componente de aceleração tangencial por variação angular (não há \dot\Omega). A aceleração de uma partícula sujeita à rotação constante é dada pela componente centrípeta (segunda derivada via produto vetorial):
\mathbf{a}_B = \boldsymbol{\Omega}\times(\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{r}_{B/O}).
Calculando:
\mathbf{a}_B = (\omega_{1}+\omega_{2})\,\mathbf{k}\times\big((\omega_{1}+\omega_{2})\,\mathbf{k}\times (r\,\mathbf{e}_r)\big).
Usando a identidade vetorial \mathbf{k}\times(\mathbf{k}\times \mathbf{e}_r)= -\mathbf{e}_r (porque \mathbf{k} é perpendicular a \mathbf{e}_r e |\mathbf{k}|=1), obtemos
\mathbf{a}_B = -r(\omega_{1}+\omega_{2})^{2}\,\mathbf{e}_r.
Interpretação didática: é uma aceleração centrípeta dirigida radialmente para o centro, de módulo r(\omega_{1}+\omega_{2})^{2}. Não há componente tangencial porque a velocidade angular total é constante.
Exemplo numérico simples para fixar a ideia: se \omega_{1}=2\\ \text{rad/s}, \omega_{2}=1\\ \text{rad/s} e r=0{,}5\\ \text{m}, então |\mathbf{a}_B|=0{,}5\cdot(3)^{2}=4{,}5\\ \text{m/s}^2, dirigido para o centro.

Passo 5

Observação sobre direção cartesiana para \theta=0: sem a figura eu não sei qual direção cartesiana corresponde a \theta=0. Se na figura \theta=0 significar que a barra aponta para o eixo +x (situação comum em muitos desenhos), então \mathbf{e}_r=\mathbf{i} e
\mathbf{a}_B = -r(\omega_{1}+\omega_{2})^{2}\,\mathbf{i}.
Mas reforço: essa componente cartesiana só vale se a convenção da figura for essa; como a figura não foi enviada, mantenho a resposta geral em termos de \mathbf{e}_r.

Resposta

\displaystyle \mathbf{a}_B = -r(\omega_{1}+\omega_{2})^{2}\,\mathbf{e}_r

Exercícios relacionados