Exercício 1 (Consistência e Corrente de Deslocamento): Considere um capacitor de placas paralelas sendo carregado por uma corrente
. Aplique a Lei de Ampère original a uma curva fechada que circunda o fio de alimentação e considere duas superfícies distintas que se apoiam nesta curva: uma superfície plana que atravessa o fio e uma superfície “em forma de balão” que passa entre as placas do capacitor. Prove matematicamente que, sem a Corrente de Deslocamento , a lei de Ampère leva a uma contradição. Explique, com base na Seção 5 de Valin , como o fluxo do campo elétrico variante entre as placas restaura a validade da lei.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado).
- Temos um capacitor de placas paralelas sendo carregado por uma corrente elétrica que percorre o fio de alimentação. A corrente que sai do gerador e atravessa o fio é
. A carga acumulada em uma das placas é e satisfaz a relação usual entre carga e corrente:
- Considere uma curva fechada
que circunda o fio de alimentação (imagine um círculo em torno do fio). Sobre essa mesma curva podemos apoiar duas superfícies diferentes com a mesma borda : -
: uma superfície plana que corta o fio (como um disco cujo centro coincide com o fio). Essa superfície é atravessada pela corrente de condução . -
: uma superfície “em forma de balão” (ou almofada) que passa entre as duas placas do capacitor, de modo que a superfície atravessa o espaço entre as placas mas não intercepta o fio condutor; portanto nenhuma corrente de condução atravessa .
-
- O enunciado pede que:
- Se aplicarmos a Lei de Ampère original (forma integral sem correção de Maxwell) mostremos que surge uma contradição entre os resultados obtidos para
e . - Expliquemos matematicamente como a inclusão da Corrente de Deslocamento (seção 5 de Valin) — i.e., o fluxo do campo elétrico variável entre as placas — resolve a contradição e restaura a validade da lei.
- Se aplicarmos a Lei de Ampère original (forma integral sem correção de Maxwell) mostremos que surge uma contradição entre os resultados obtidos para
A partir daqui passo a passo vou mostrar a contradição e depois como a correção de Maxwell a elimina.
Passo 2
Aplicando a Lei de Ampère original à curva
e à superfície
.
- A forma integral da Lei de Ampère “original” (antes da correção de Maxwell) é
onde
é a circulação do campo magnético ao longo da curva
e
é a corrente de condução atravessando a superfície
cuja borda é
.
- Para a superfície
(o disco que corta o fio), a corrente de condução atravessando é exatamente a corrente que alimenta o capacitor:
- Logo, a Lei de Ampère aplicada a
dá
Isso significa: medindo a circulação ao longo de
(qualquer que seja o
fixado), a lei diz que ela vale
se escolhemos a superfície que intercepta o fio.
Passo 3
Aplicando a mesma Lei de Ampère original à curva
e à superfície
: aparece a contradição.
- Para a superfície
que passa entre as placas do capacitor, nenhuma corrente de condução atravessa ; o fio passa fora dela. Portanto
- Aplicando a Lei de Ampère original à mesma curva
mas agora tomando como superfície de captação:
- Contradição: a mesma quantidade à esquerda,
, não pode ser simultaneamente (obtida com ) e (obtida com ), salvo no caso trivial . Como está carregando o capacitor, em geral . Logo a Lei de Ampère, nessa forma, é inconsistente para superfícies diferentes com a mesma borda.
Resumo rápido: a lei dá dois resultados diferentes dependendo da superfície escolhida — isso é logicamente inaceitável porque a circulação ao longo de
é única e não pode depender da superfície. Precisamos de uma correção para tornar o lado direito da equação independente da escolha da superfície.
Passo 4
Introdução da Corrente de Deslocamento e da forma corrigida (Ampère–Maxwell). O que a correção faz e por quê.
- Maxwell corrigiu a Lei de Ampère incluindo um termo adicional associado ao campo elétrico variável no tempo. Definimos a densidade de corrente de deslocamento como
onde
é a permissividade do vácuo e
é o campo elétrico.
- A forma integral completa (Lei de Ampère–Maxwell) é
Aqui:
-
é a corrente de condução atravessando (o termo antigo). -
é o termo do deslocamento: vezes a taxa de variação do fluxo elétrico através de . - Intuição física (didática e informal): quando as placas do capacitor estão carregando, o campo elétrico entre elas muda no tempo; essa variação de fluxo elétrico age “como se” fosse uma corrente que atravessa o espaço entre as placas, produzindo o mesmo efeito magnético que teria uma corrente real. Ou seja: fluxo elétrico variável gera circulação magnética assim como corrente de cargas móveis.
Passo 5
Cálculo explícito do termo de deslocamento para o capacitor de placas paralelas e verificação de que resolve a contradição.
- Considere as placas com área
, carga na placa (assumindo placas grandes e franja desprezível). Entre as placas o campo elétrico é (aproximação usual, uniforme e perpendicular às placas):
portanto
- Tome a superfície
que passa entre as placas e cuja área efetiva interceptada, para o cálculo do fluxo, é justamente . O fluxo elétrico através de é então
- Calcule o termo de deslocamento (o segundo termo à direita do Ampère–Maxwell):
- Agora aplique a forma completa à superfície
. A corrente de condução através de é zero, então:
- Compare com o caso
: para a corrente de condução atravessando é e o fluxo elétrico através de pode ser tomado nulo ou compensado de forma que o segundo termo some corretamente; de qualquer forma a soma (corrente de condução + corrente de deslocamento) para também dá . Assim para ambas as superfícies o lado direito da Ampère–Maxwell é , e a circulação é única e bem definida independentemente da superfície usada.
Concluímos matematicamente que a inclusão do termo
é necessária e suficiente, no modelo do capacitor ideal, para que o valor do membro direito da lei seja independente da superfície escolhida e, portanto, para que a lei faça sentido físico.
Passo 6
Breve explicação da ligação com a conservação de carga (por que Maxwell precisava da correção).
- A correção não foi só um capricho formal: ela é necessária para compatibilizar a equação de Ampère com a conservação local de carga elétrica (equação de continuidade).
- Em forma diferencial, a Lei de Ampère–Maxwell é
Tomando a divergência de ambos os lados:
- Usando a Lei de Gauss
, obtemos
que é justamente a equação de continuidade (conservação local de carga). Sem o termo
essa compatibilidade se perderia. Portanto a Corrente de Deslocamento é matematicamente necessária para que as equações do eletromagnetismo respeitem a conservação de carga.
Passo 7
Resumo final e comentário com base na Seção 5 de Valin (interpretação física).
- A Seção 5 de Valin (conforme solicitada) discute justamente esse ponto: quando um capacitor é carregado há uma região entre as placas onde não existe corrente de condução, mas há variação temporal do campo elétrico. Essa variação do fluxo elétrico tem o mesmo efeito magnético que uma corrente real. Valin mostra que contabilizar o termo de deslocamento torna o lado direito da lei de Ampère independente da superfície escolhida, restaurando a consistência matemática e física da teoria.
- Em linguagem simples: o fluxo de
que cresce entre as placas “faz o papel” de uma corrente que passa pelo espaço vazio, fechando o circuito eletromagnético e garantindo que o campo magnético ao redor do fio seja o mesmo qualquer que seja a superfície que usemos para calcular a corrente atravessando essa borda.
Resposta
Sem a Corrente de Deslocamento a Lei de Ampère original dá resultados contraditórios para a mesma curva
: para a superfície que corta o fio
, enquanto para a superfície que passa entre as placas
. Incluindo o termo de deslocamento obtém-se a Lei de Ampère–Maxwell
e, para o capacitor de placas paralelas,
, de modo que ambos os tipos de superfície dão o mesmo resultado
. Assim a variação do fluxo de
entre as placas (a Corrente de Deslocamento) restaura a consistência da lei, conforme explicado na Seção 5 de Valin.