Exercício 1 (Consistência e Corrente de Deslocamento): Considere um capacitor de placas paralelas sendo carregado por uma corrente I(t). Aplique a Lei de Ampère original a uma curva fechada que circunda o fio de alimentação e considere duas superfícies distintas que se apoiam nesta curva: uma superfície plana que atravessa o fio e uma superfície “em forma de balão” que passa entre as placas do capacitor. Prove matematicamente que, sem a Corrente de Deslocamento , a lei de Ampère leva a uma contradição. Explique, com base na Seção 5 de Valin , como o fluxo do campo elétrico variante entre as placas restaura a validade da lei.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado).
  • Temos um capacitor de placas paralelas sendo carregado por uma corrente elétrica que percorre o fio de alimentação. A corrente que sai do gerador e atravessa o fio é \,I(t)\,. A carga acumulada em uma das placas é \,Q(t)\, e satisfaz a relação usual entre carga e corrente:
\frac{dQ(t)}{dt}=I(t).
  • Considere uma curva fechada C que circunda o fio de alimentação (imagine um círculo em torno do fio). Sobre essa mesma curva podemos apoiar duas superfícies diferentes com a mesma borda C:
    • S_1: uma superfície plana que corta o fio (como um disco cujo centro coincide com o fio). Essa superfície é atravessada pela corrente de condução I(t).
    • S_2: uma superfície “em forma de balão” (ou almofada) que passa entre as duas placas do capacitor, de modo que a superfície atravessa o espaço entre as placas mas não intercepta o fio condutor; portanto nenhuma corrente de condução atravessa S_2.
  • O enunciado pede que:
    1. Se aplicarmos a Lei de Ampère original (forma integral sem correção de Maxwell) mostremos que surge uma contradição entre os resultados obtidos para S_1 e S_2.
    2. Expliquemos matematicamente como a inclusão da Corrente de Deslocamento (seção 5 de Valin) — i.e., o fluxo do campo elétrico variável entre as placas — resolve a contradição e restaura a validade da lei.
A partir daqui passo a passo vou mostrar a contradição e depois como a correção de Maxwell a elimina.

Passo 2

Aplicando a Lei de Ampère original à curva C e à superfície S_1.
  • A forma integral da Lei de Ampère “original” (antes da correção de Maxwell) é
\oint_{C}\mathbf{B}\!\cdot d\boldsymbol{\ell}=\mu_0 I_{\mathrm{enc}}(S),
onde \oint_{C}\mathbf{B}\!\cdot d\boldsymbol{\ell} é a circulação do campo magnético ao longo da curva C e I_{\mathrm{enc}}(S) é a corrente de condução atravessando a superfície S cuja borda é C.
  • Para a superfície S_1 (o disco que corta o fio), a corrente de condução atravessando S_1 é exatamente a corrente que alimenta o capacitor:
I_{\mathrm{enc}}(S_1)=I(t).
  • Logo, a Lei de Ampère aplicada a S_1
\oint_{C}\mathbf{B}\!\cdot d\boldsymbol{\ell}=\mu_0 I(t).
Isso significa: medindo a circulação ao longo de C (qualquer que seja o C fixado), a lei diz que ela vale \mu_0 I(t) se escolhemos a superfície que intercepta o fio.

Passo 3

Aplicando a mesma Lei de Ampère original à curva C e à superfície S_2: aparece a contradição.
  • Para a superfície S_2 que passa entre as placas do capacitor, nenhuma corrente de condução atravessa S_2; o fio passa fora dela. Portanto
I_{\mathrm{enc}}(S_2)=0.
  • Aplicando a Lei de Ampère original à mesma curva C mas agora tomando S_2 como superfície de captação:
\oint_{C}\mathbf{B}\!\cdot d\boldsymbol{\ell}=\mu_0 \cdot 0 = 0.
  • Contradição: a mesma quantidade à esquerda, \oint_{C}\mathbf{B}\!\cdot d\boldsymbol{\ell}, não pode ser simultaneamente \mu_0 I(t) (obtida com S_1) e 0 (obtida com S_2), salvo no caso trivial I(t)=0. Como I(t) está carregando o capacitor, em geral I(t)\neq 0. Logo a Lei de Ampère, nessa forma, é inconsistente para superfícies diferentes com a mesma borda.
Resumo rápido: a lei dá dois resultados diferentes dependendo da superfície escolhida — isso é logicamente inaceitável porque a circulação ao longo de C é única e não pode depender da superfície. Precisamos de uma correção para tornar o lado direito da equação independente da escolha da superfície.

Passo 4

Introdução da Corrente de Deslocamento e da forma corrigida (Ampère–Maxwell). O que a correção faz e por quê.
  • Maxwell corrigiu a Lei de Ampère incluindo um termo adicional associado ao campo elétrico variável no tempo. Definimos a densidade de corrente de deslocamento como
\mathbf{J}_D=\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo e \mathbf{E} é o campo elétrico.
  • A forma integral completa (Lei de Ampère–Maxwell) é
\oint_{C}\mathbf{B}\!\cdot d\boldsymbol{\ell} =\mu_0\int_{S}\mathbf{J}\!\cdot d\mathbf{A} +\mu_0\varepsilon_0\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{E}\!\cdot d\mathbf{A}.
Aqui:
  • \int_{S}\mathbf{J}\!\cdot d\mathbf{A} é a corrente de condução atravessando S (o termo antigo).
  • \varepsilon_0\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{E}\!\cdot d\mathbf{A} é o termo do deslocamento: \varepsilon_0 vezes a taxa de variação do fluxo elétrico \Phi_E(S,t)=\int_{S}\mathbf{E}\!\cdot d\mathbf{A} através de S.
  • Intuição física (didática e informal): quando as placas do capacitor estão carregando, o campo elétrico entre elas muda no tempo; essa variação de fluxo elétrico age “como se” fosse uma corrente que atravessa o espaço entre as placas, produzindo o mesmo efeito magnético que teria uma corrente real. Ou seja: fluxo elétrico variável gera circulação magnética assim como corrente de cargas móveis.

Passo 5

Cálculo explícito do termo de deslocamento para o capacitor de placas paralelas e verificação de que resolve a contradição.
  • Considere as placas com área A, carga na placa Q(t) (assumindo placas grandes e franja desprezível). Entre as placas o campo elétrico é (aproximação usual, uniforme e perpendicular às placas):
\mathbf{E}(t)=\frac{\sigma(t)}{\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{n}} \quad\text{com}\quad \sigma(t)=\frac{Q(t)}{A},
portanto
E(t)=\frac{Q(t)}{A\varepsilon_0}.
  • Tome a superfície S_2 que passa entre as placas e cuja área efetiva interceptada, para o cálculo do fluxo, é justamente A. O fluxo elétrico através de S_2 é então
\Phi_E(S_2,t)=\int_{S_2}\mathbf{E}\!\cdot d\mathbf{A}=E(t)\,A=\frac{Q(t)}{\varepsilon_0}.
  • Calcule o termo de deslocamento (o segundo termo à direita do Ampère–Maxwell):
\varepsilon_0\frac{d}{dt}\Phi_E(S_2,t) =\varepsilon_0\frac{d}{dt}\left(\frac{Q(t)}{\varepsilon_0}\right) =\frac{dQ(t)}{dt}=I(t).
  • Agora aplique a forma completa à superfície S_2. A corrente de condução através de S_2 é zero, então:
\oint_{C}\mathbf{B}\!\cdot d\boldsymbol{\ell} =\mu_0\cdot 0 + \mu_0\varepsilon_0\frac{d}{dt}\Phi_E(S_2,t) =\mu_0 I(t).
  • Compare com o caso S_1: para S_1 a corrente de condução atravessando é I(t) e o fluxo elétrico através de S_1 pode ser tomado nulo ou compensado de forma que o segundo termo some corretamente; de qualquer forma a soma (corrente de condução + corrente de deslocamento) para S_1 também dá I(t). Assim para ambas as superfícies o lado direito da Ampère–Maxwell é \mu_0 I(t), e a circulação \oint_{C}\mathbf{B}\!\cdot d\boldsymbol{\ell} é única e bem definida independentemente da superfície usada.
Concluímos matematicamente que a inclusão do termo \varepsilon_0\,d\Phi_E/dt é necessária e suficiente, no modelo do capacitor ideal, para que o valor do membro direito da lei seja independente da superfície escolhida e, portanto, para que a lei faça sentido físico.

Passo 6

Breve explicação da ligação com a conservação de carga (por que Maxwell precisava da correção).
  • A correção não foi só um capricho formal: ela é necessária para compatibilizar a equação de Ampère com a conservação local de carga elétrica (equação de continuidade).
  • Em forma diferencial, a Lei de Ampère–Maxwell é
\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.
Tomando a divergência de ambos os lados:
\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{B})=0 =\mu_0\bigl(\nabla\cdot\mathbf{J}+\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf{E})\bigr).
  • Usando a Lei de Gauss \nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_0, obtemos
\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0,
que é justamente a equação de continuidade (conservação local de carga). Sem o termo \varepsilon_0\partial_t\mathbf{E} essa compatibilidade se perderia. Portanto a Corrente de Deslocamento é matematicamente necessária para que as equações do eletromagnetismo respeitem a conservação de carga.

Passo 7

Resumo final e comentário com base na Seção 5 de Valin (interpretação física).
  • A Seção 5 de Valin (conforme solicitada) discute justamente esse ponto: quando um capacitor é carregado há uma região entre as placas onde não existe corrente de condução, mas há variação temporal do campo elétrico. Essa variação do fluxo elétrico tem o mesmo efeito magnético que uma corrente real. Valin mostra que contabilizar o termo de deslocamento torna o lado direito da lei de Ampère independente da superfície escolhida, restaurando a consistência matemática e física da teoria.
  • Em linguagem simples: o fluxo de \mathbf{E} que cresce entre as placas “faz o papel” de uma corrente que passa pelo espaço vazio, fechando o circuito eletromagnético e garantindo que o campo magnético ao redor do fio seja o mesmo qualquer que seja a superfície que usemos para calcular a corrente atravessando essa borda.

Resposta

Sem a Corrente de Deslocamento a Lei de Ampère original dá resultados contraditórios para a mesma curva C: para a superfície que corta o fio \oint_{C}\mathbf{B}\!\cdot d\boldsymbol{\ell}=\mu_0 I(t), enquanto para a superfície que passa entre as placas \oint_{C}\mathbf{B}\!\cdot d\boldsymbol{\ell}=0. Incluindo o termo de deslocamento obtém-se a Lei de Ampère–Maxwell
\oint_{C}\mathbf{B}\!\cdot d\boldsymbol{\ell} =\mu_0\int_{S}\mathbf{J}\!\cdot d\mathbf{A} +\mu_0\varepsilon_0\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{E}\!\cdot d\mathbf{A},
e, para o capacitor de placas paralelas, \varepsilon_0\,\dfrac{d}{dt}\Phi_E(S_2,t)=\dfrac{dQ}{dt}=I(t), de modo que ambos os tipos de superfície dão o mesmo resultado \oint_{C}\mathbf{B}\!\cdot d\boldsymbol{\ell}=\mu_0 I(t). Assim a variação do fluxo de \mathbf{E} entre as placas (a Corrente de Deslocamento) restaura a consistência da lei, conforme explicado na Seção 5 de Valin.

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