Exercício 3: Conservação do Momento em Recuo
Um astronauta de massa
está inicialmente em repouso no espaço sideral longe de qualquer força gravitacional externa significativa. Ele está segurando uma ferramenta de massa
. Para retornar à sua nave espacial, o astronauta arremessa a ferramenta diretamente para longe da nave com uma velocidade de
em relação às estrelas fixas.
a) Qual é a velocidade de recuo (magnitude e direçåo) do astronauta imediatamente após o arremesso?
Um astronauta de massa
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados (vou transcrever exatamente os números fornecidos):
- Massa do astronauta:
. - Massa da ferramenta:
. - Velocidade da ferramenta após o arremesso, medida em relação às estrelas (referencial inercial):
.
O que o problema pede: - (a) A velocidade de recuo do astronauta imediatamente após o arremesso — isto é, a magnitude e a direção de
.
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar: conservação do momento linear (momentum). Vou explicar de forma clara e prática:
- O momento linear de um corpo é o produto da sua massa pela sua velocidade; para uma massa
com velocidade escreve-se . - Se não há forças externas resultantes agindo sobre um sistema (aqui: astronauta + ferramenta no espaço profundo), o momento total do sistema se conserva — ou seja, a soma vetorial dos momentos antes do evento é igual à soma vetorial dos momentos depois do evento.
- No nosso caso inicial ambos estavam em repouso, então o momento total inicial é zero. Isso implica que o momento total final também deve ser zero:
Aqui:
-
e são as massas dadas; -
é a velocidade do astronauta que queremos achar (pode ser positiva ou negativa conforme escolhermos sentido); -
é a velocidade da ferramenta dada.
Passo 3
Escolha de convenção de sinais (muy importante para não confundir): tome como positivo o sentido no qual a ferramenta foi arremessada (para longe da nave). Assim
. Como o momento total final deve ser zero, o astronauta terá velocidade no sentido oposto (isto aparecerá naturalmente como sinal negativo em
).
Passo 4
Agora isolar
na equação de conservação do momento. Partindo de
subtrai-se
e divide-se por
:
Explicando cada termo: o fator
é a razão entre as massas; como
é muito maior que
, o módulo de
será bem menor que
. O sinal negativo indica que
é no sentido oposto ao de
.
Passo 5
Substituir números e efetuar as contas passo a passo (sem pular etapas):
Portanto
Convertendo para decimal:
Interpretação numérica: o valor negativo confirma que a velocidade do astronauta é no sentido oposto ao da ferramenta; o módulo (a velocidade de recuo) é
.
Passo 6
Interpretação física e linguagem de prova (como escrever rapidamente na hora da prova):
- Resultado em palavras: o astronauta recua com velocidade de
na direção oposta ao lançamento da ferramenta — ou seja, em direção à nave. - Raciocínio curto para a prova: momento inicial zero ⇒
⇒ . Magnitude , sentido para a nave.