Exercício 3: Conservação do Momento em Recuo
Um astronauta de massa m_{A}=80 \mathrm{~kg} está inicialmente em repouso no espaço sideral longe de qualquer força gravitacional externa significativa. Ele está segurando uma ferramenta de massa m_{F}=5,0 \mathrm{~kg}. Para retornar à sua nave espacial, o astronauta arremessa a ferramenta diretamente para longe da nave com uma velocidade de 12 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em relação às estrelas fixas.
a) Qual é a velocidade de recuo (magnitude e direçåo) do astronauta imediatamente após o arremesso?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (vou transcrever exatamente os números fornecidos):
  • Massa do astronauta: m_{A}=80\\ \mathrm{kg}.
  • Massa da ferramenta: m_{F}=5,0\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade da ferramenta após o arremesso, medida em relação às estrelas (referencial inercial): v_{F}=12\\ \mathrm{m/s}.
    O que o problema pede:
  • (a) A velocidade de recuo do astronauta imediatamente após o arremesso — isto é, a magnitude e a direção de v_{A}.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar: conservação do momento linear (momentum). Vou explicar de forma clara e prática:
  • O momento linear de um corpo é o produto da sua massa pela sua velocidade; para uma massa m com velocidade v escreve-se p=m v.
  • Se não há forças externas resultantes agindo sobre um sistema (aqui: astronauta + ferramenta no espaço profundo), o momento total do sistema se conserva — ou seja, a soma vetorial dos momentos antes do evento é igual à soma vetorial dos momentos depois do evento.
  • No nosso caso inicial ambos estavam em repouso, então o momento total inicial é zero. Isso implica que o momento total final também deve ser zero:
m_{A} v_{A} + m_{F} v_{F} = 0.
Aqui:
  • m_{A} e m_{F} são as massas dadas;
  • v_{A} é a velocidade do astronauta que queremos achar (pode ser positiva ou negativa conforme escolhermos sentido);
  • v_{F} é a velocidade da ferramenta dada.

Passo 3

Escolha de convenção de sinais (muy importante para não confundir): tome como positivo o sentido no qual a ferramenta foi arremessada (para longe da nave). Assim v_{F}=+12\\ \mathrm{m/s}. Como o momento total final deve ser zero, o astronauta terá velocidade no sentido oposto (isto aparecerá naturalmente como sinal negativo em v_{A}).

Passo 4

Agora isolar v_{A} na equação de conservação do momento. Partindo de
m_{A} v_{A} + m_{F} v_{F} = 0,
subtrai-se m_{F} v_{F} e divide-se por m_{A}:
v_{A} = -\,\frac{m_{F}}{m_{A}}\;v_{F}.
Explicando cada termo: o fator \dfrac{m_{F}}{m_{A}} é a razão entre as massas; como m_{A} é muito maior que m_{F}, o módulo de v_{A} será bem menor que v_{F}. O sinal negativo indica que v_{A} é no sentido oposto ao de v_{F}.

Passo 5

Substituir números e efetuar as contas passo a passo (sem pular etapas):
\frac{m_{F}}{m_{A}}=\frac{5,0}{80}=\frac{5}{80}=\frac{1}{16}.
Portanto
v_{A}=-\frac{1}{16}\cdot 12 = -\frac{12}{16} = -\frac{3}{4}.
Convertendo para decimal:
v_{A}=-0,75\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação numérica: o valor negativo confirma que a velocidade do astronauta é no sentido oposto ao da ferramenta; o módulo (a velocidade de recuo) é 0,75\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Interpretação física e linguagem de prova (como escrever rapidamente na hora da prova):
  • Resultado em palavras: o astronauta recua com velocidade de 0,75\\ \mathrm{m/s} na direção oposta ao lançamento da ferramenta — ou seja, em direção à nave.
  • Raciocínio curto para a prova: momento inicial zero ⇒ m_{A}v_{A}+m_{F}v_{F}=0 v_{A}=-\dfrac{m_{F}}{m_{A}}v_{F}=-\dfrac{5,0}{80}\cdot12=-0,75\\ \mathrm{m/s}. Magnitude 0,75\\ \mathrm{m/s}, sentido para a nave.

Resposta

0,75\\ \mathrm{m/s}, em direção contrária ao lançamento da ferramenta (ou seja, em direção à nave).

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