- Exercício 4

\square Uma empresa de telefonia celular quer saber como funciona a relação entre o uso do telefone e a renda de seus clientes. Uma pesquisa anterior revelou que:
10% dos clientes pertencem à classe A.
25% dos clientes pertencem à classe B.
35% dos clientes pertencem à classe C .
30 \% dos clientes pertencem à classe D.
\square Dentre os clientes da classe A, 25 \% usam telefone pré-pago.
\square Dentre os clientes da classe B, 45% usam telefone pré-pago.
\square Dentre os clientes da classe C, 90% usam telefone pré-pago.
\square Dentre os clientes da classe D, 95% usam telefone pré-pago.
\square Um cliente é escolhido aleatoriamente e tem o serviço pré-pago. Qual a probabilidade dele pertencer a cada uma das classes?

Passo 1

O enunciado apresenta quatro classes de clientes com probabilidades a priori: \,P(A)=0,10, P(B)=0,25, P\text{(C)}=0,35, P(D)=0,30.
Além disso, dadas essas classes, as probabilidades de o cliente usar serviço pré-pago são \,P(\text{pré}|A)=0,25é, P(\text{pré}|B)=0,45é, P(\text{pré}|C)=0,90é e P(\text{pré}|D)=0,95é.
Pergunta-se as probabilidades a posteriori P(A|\text{pré})é, P(B|\text{pré})é, P(C|\text{pré})é e P(D|\text{pré})é.
Vamos usar a Lei da Probabilidade Total para achar P(\text{pré})é e, em seguida, o Teorema de Bayes.

Passo 2

Calcular as probabilidades conjuntas P(\text{pré}\cap \text{classe})é:
P(\text{pré}\cap A)=P(A)\,P(\text{pré}|A)=0,10\cdot0,25=0,025,éé
P(\text{pré}\cap B)=0,25\cdot0,45=0,1125,é
P(\text{pré}\cap C)=0,35\cdot0,90=0,315,é
P(\text{pré}\cap D)=0,30\cdot0,95=0,285.é

Passo 3

Aplicar a Lei da Probabilidade Total para P(\text{pré})é:
P(\text{pré}) = \sum_{X\in\{A,B,C,D\}}P(\text{pré}\cap X) =0,025+0,1125+0,315+0,285=0,7375.éé

Passo 4

Usar o Teorema de Bayes para cada classe X:
P(X|\text{pré}) =\frac{P(\text{pré}\cap X)}{P(\text{pré})}.ééé
Logo,
P(A|\text{pré})=\frac{0,025}{0,7375}\approx0,0339, \quad P(B|\text{pré})=\frac{0,1125}{0,7375}\approx0,1526,éé
P(C|\text{pré})=\frac{0,315}{0,7375}\approx0,4271, \quad P(D|\text{pré})=\frac{0,285}{0,7375}\approx0,3865.éé

Resposta

P(A|\text{pré})\approx0,0339é (3,39 %) P(B|\text{pré})\approx0,1526é (15,26 %) P(C|\text{pré})\approx0,4271é (42,71 %) P(D|\text{pré})\approx0,3865é (38,65 %)

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