Encontrar o ponto do plano x+2 y+3 z=14 mais próximo da origem.

Passo 1

O enunciado nos dá o plano
x + 2y + 3z = 14
e pede o ponto desse plano mais próximo da origem.
Para isso vamos minimizar a distância ao quadrado
f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2
sujeito à restrição
g(x,y,z) = x + 2y + 3z - 14 = 0

Passo 2

Aplicamos o método dos multiplicadores de Lagrange, isto é, exigimos
nabla f = lambda ,nabla g
Como
nabla f = (2x,,2y,,2z) e nabla g = (1,,2,,3),
temos o sistema
2x = lambdacdot1, 2y = lambdacdot2, 2z = lambdacdot3

Passo 3

Dessas equações segue
x = lambda2, y = 2lambda2 = lambda, z = 3lambda2
Substituindo na equação do plano,
lambda2 + 2lambda + 3cdot3lambda2 = 14

Passo 4

Calculando o lado esquerdo:
lambda2 + 2lambda = 5lambda2, 3cdot3lambda2 = 9lambda2,
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5lambda2 + 9lambda2 = 14lambda2 = 7lambda
Assim,
7lambda = 14 Longrightarrow lambda = 2
Substituindo de volta em x,y,z obtemos
x = 1, y = 2, z = 3

Resposta

O ponto do plano mais próximo da origem é (1,2,3).

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