Ache a série de Fourier no intervalo dado. Faça um esboço do gráfico
Passo 1
A questão pede para achar a série de Fourier de período 10 (ou seja, 2L com L=5) da função f(x) definida por partes em [-5,5] e depois esboçar o gráfico resultante. Vamos usar propriedades de séries de Fourier e integrais definidas.
Passo 2
Lembrando que, para uma função de período 2L definida em [-L,L], a série de Fourier é dada por:
com
Passo 3
Vamos calcular
. Aqui
.
Logo
Passo 4
Agora
:
O primeiro integral dá zero por simetria de seno, e o segundo se divide em
Passo 5
Podemos notar que
para n par e
para n ímpar. Logo
Passo 6
Agora
:
Fazendo contas diretas e por partes chega-se a
Passo 7
Juntando tudo, a série de Fourier fica:
Passo 8
Para esboçar o gráfico, basta desenhar em [-5,0) a constante f(x)=1, e em [0,5] a reta f(x)=1+x; e então repetir esse padrão de período 10 no eixo x.