Ache a série de Fourier no intervalo dado. Faça um esboço do gráfico
f(x)=l 1,-5 <= x<0 1+x, 0 <= x <= 5

Passo 1

A questão pede para achar a série de Fourier de período 10 (ou seja, 2L com L=5) da função f(x) definida por partes em [-5,5] e depois esboçar o gráfico resultante. Vamos usar propriedades de séries de Fourier e integrais definidas.

Passo 2

Lembrando que, para uma função de período 2L definida em [-L,L], a série de Fourier é dada por:
f(x),sim,a02+sumn=1^inftyl(ancos(tfracnpi xL)+bnsin(tfracnpi xL)r),
com
a0=1Lintegral-L^Lf(x),dx, an=1Lintegral-L^Lf(x)cosl(tfracnpi xLr),dx, bn=1Lintegral-L^Lf(x)sinl(tfracnpi xLr),dx

Passo 3

Vamos calcular a0. Aqui L=5.
a0=15l(integral-5^01,dx+integral0^5(1+x),dxr)=15l(5+5+tfrac252r)=22.55=4.5
Logo a0/2=2.25.

Passo 4

Agora an:
an=15l(integral-5^01costfracnpi x5,dx+integral0^5(1+x)costfracnpi x5,dxr)
O primeiro integral dá zero por simetria de seno, e o segundo se divide em integral0^5cos(cdots),dx+integral0^5 xcos(cdots),dx. Fazendo conta por partes obtemos
an=5n^2pi^2l((-1)^n-1r)

Passo 5

Podemos notar que (-1)^n-1=0 para n par e -2 para n ímpar. Logo
an=-tfrac10n^2pi^2,&n;ímpar,0,&n;par í

Passo 6

Agora bn:
bn=15l(integral-5^01sintfracnpi x5,dx+integral0^5(1+x)sintfracnpi x5,dxr)
Fazendo contas diretas e por partes chega-se a
bn=5(-1)^n+1npi

Passo 7

Juntando tudo, a série de Fourier fica:
f(x)=94+sumn=1^inftyl[5l((-1)^n-1r)n^2pi^2cosl(tfracnpi x5r)+5(-1)^n+1npisinl(tfracnpi x5r)r]

Passo 8

Para esboçar o gráfico, basta desenhar em [-5,0) a constante f(x)=1, e em [0,5] a reta f(x)=1+x; e então repetir esse padrão de período 10 no eixo x.

Resposta

f(x)=94+sumn=1^inftyl[5l((-1)^n-1r)n^2pi^2cosl(tfracnpi x5r)+5(-1)^n+1npisinl(tfracnpi x5r)r]

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