Nosso objetivo, nesta seção, é provar que a sequência de termo geral
é convergente. Definiremos, então, o número e como o limite de tal sequência.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a sequência de termo geral
é convergente, estudando monotonia e limite. O conteúdo principal é análise de sequência: vamos precisar usar derivadas para mostrar monotonicidade e usar a expansão binomial para achar um majorante para a_n.
Passo 2
Para mostrar que
é crescente, considere a função real
para
. Definindo
, usamos a regra do produto e a derivada de
para obter
Como para todo
vale
, colocando
obtemos
. Logo
, o que implica
e, portanto,
é crescente. Restrito a
, segue que
, isto é,
é estritamente crescente.
Passo 3
Para achar um majorante de
, aplicamos o teorema binomial:
Observe que
pois cada fator
. Assim
Portanto
é limitada superiormente por
.
Passo 4
Pela propriedade de que toda sequência monótona e limitada converge, concluímos que
converge para certo limite
. Definimos o número
exatamente como
Resposta
A sequência é crescente e limitada acima por
, logo converge, e definimos
.