Nosso objetivo, nesta seção, é provar que a sequência de termo geral
an=(1+1n)^n
é convergente. Definiremos, então, o número e como o limite de tal sequência.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a sequência de termo geral an=(1+1/n)^n é convergente, estudando monotonia e limite. O conteúdo principal é análise de sequência: vamos precisar usar derivadas para mostrar monotonicidade e usar a expansão binomial para achar um majorante para a_n.

Passo 2

Para mostrar que an é crescente, considere a função real f(x)=(1+1/x)^x para x>0. Definindo ln, usamos a regra do produto e a derivada de g'(x)=lnl(1+tfrac1xr)-1x+1 para obter
y>0
Como para todo ln(1+y)>y/(1+y) vale y=1/x, colocando ln(1+1/x)>1/(x+1) obtemos g'(x)>0. Logo f'(x)>0, o que implica f e, portanto, x=nin N é crescente. Restrito a an+1=f(n+1)>f(n)=an, segue que (an), isto é, é estritamente crescente.

Passo 3

Para achar um majorante de an, aplicamos o teorema binomial:
l(1+tfrac1nr)^n=sumk=0^nbinom nk1n^k
Observe que
binom nk1n^k=n(n-1)cdots(n-k+1)k!,n^k<=1k!
pois cada fator (n-j)/n<=1. Assim
l(1+tfrac1nr)^n<=sumk=0^n1k!
Portanto an é limitada superiormente por e.

Passo 4

Pela propriedade de que toda sequência monótona e limitada converge, concluímos que (an) converge para certo limite L. Definimos o número e exatamente como
e=limntoinftyl(1+tfrac1nr)^n

Resposta

A sequência é crescente e limitada acima por e, logo converge, e definimos
e=limntoinfty(1+1/n)^n.

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