Exercício 1. Considerando que o par de funções fornecido são soluções da mesma EDO linear homogênea de 2a Ordem, calcule o wronskiano.
x e x e^x

Passo 1

O enunciado nos dá duas soluções
y1(x)=x e y2(x)=x,e^x
de uma EDO linear homogênea de segunda ordem e pede o wronskiano desse par de soluções. Para resolver, vamos usar a definição de wronskiano e calcular as derivadas de cada função.

Passo 2

A definição do wronskiano de duas funções y1 e y2 é
W(y1,y2)(x)=y1(x),y2'(x)-y2(x),y1'(x)

Passo 3

Calculamos as derivadas:
Para y1(x)=x,
y1'(x)=1
Para y2(x)=x,e^x, usamos a regra do produto e obtemos
y2'(x)=e^x+x,e^x=e^x(1+x)

Passo 4

Substituindo na fórmula do wronskiano:
W(x)=xcdot e^x(1+x)-l(x,e^xr)cdot1 =x,e^x(1+x)-x,e^x =x,e^xl((1+x)-1r) =x^2e^x

Resposta

W(x)=x^2e^x

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