Em cada item, calcule a integral dupla. Sugestão. Utilize coordenadas polares.
(a)
integral duplaR sen(x^2+y^2) d A, em que R é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro na origem e raios iguais a 1 e 3 .
(b)
integral duplaR y^2x^2+y^2 d A, em que R é a região é a região que fica entre os círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9.
(c)
integral duplaR cos raizx^2+y^2 d A, em que R é o disco com centro na origem e raio igual a 2 .
(d)
integral duplaR arctg(yx) d A, em que R=(x, y) in R^2 mid 1 <= x^2+y^2 <= 4,0 <= y <= x.

Passo 1

Vamos calcular cada integral dupla usando coordenadas polares, nas quais
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta
Em cada item, descrevemos a região R em termos de (r,theta) e reescrevemos o integrando em função de r e theta.

Passo 2

(a) A região R é o setor do primeiro quadrante entre os círculos de raios 1 e 3, ou seja
0 <= theta <= pi2, 1 <= r <= 3
A integral fica
integral duplaRsen(x^2+y^2),dA =integraltheta=0^pi/2integralr=1^3sin(r^2),r,dr,dtheta
Fazendo a substituição u=r^2, du=2r,dr, obtemos
integralr=1^3sin(r^2),r,dr =12integralu=1^9sin u,du =12l[-cos ur]1^9 =12l(cos1-cos9r)
Então
integral duplaRsen(x^2+y^2),dA =integral0^pi/212l(cos1-cos9r)dtheta =pi2cdot12l(cos1-cos9r) =pi4l(cos1-cos9r)

Passo 3

(b) Agora R é o anel 1<= r<=3, 0<=theta<=2pi. O integrando
y^2x^2+y^2 =r^2sin^2thetar^2 =sin^2theta,
e
integral duplaRy^2x^2+y^2,dA =integral0^2piintegral1^3sin^2theta;r,dr,dtheta =l(integral1^3r,drr)l(integral0^2pisin^2theta,dthetar)
Calculamos
integral1^3r,dr=r^22|1^3=9-12=4, integral0^2pisin^2theta,dtheta=pi
Logo
integral duplaRy^2x^2+y^2,dA=4cdotpi=4pi

Passo 4

(c) Aqui R é o disco 0<= r<=2, 0<=theta<=2pi. O integrando é
cosraizx^2+y^2=cos r,
então
integral duplaRcosraizx^2+y^2,dA =integral0^2piintegral0^2cos r;r,dr,dtheta =2piintegral0^2rcos r,dr
Fazendo integração por partes ( u=r, dv=cos r,dr),
integral0^2rcos r,dr =l[rsin rr]0^2-integral0^2sin r,dr =2sin2+cos2-1
Portanto
integral duplaRcosraizx^2+y^2,dA =2pil(2sin2+cos2-1r)

Passo 5

(d) A região R é o anel 1<= r<=2 limitado pelos ângulos em que 0<= y<= x, ou seja 0<=theta<=pi/4. Como
arctg!l(yxr)=theta,
temos
integral duplaRarctg!l(yxr),dA =integraltheta=0^pi/4integralr=1^2theta;r,dr,dtheta =l(integral1^2r,drr)l(integral0^pi/4theta,dthetar)
Calculamos
integral1^2r,dr=32, integral0^pi/4theta,dtheta=12l(pi4r)^2 =pi^232
Assim
integral duplaRarctg!l(tfracyxr),dA =32cdotpi^232 =3pi^264

Resposta

(a) pi4l(cos1-cos9r)
(b) 4pi
(c) 2pil(2sin2+cos2-1r)
(d) 3pi^264

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