Em cada item, calcule a integral dupla. Sugestão. Utilize coordenadas polares.
(a) , em que é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro na origem e raios iguais a 1 e 3 .
(b) , em que é a região é a região que fica entre os círculos e .
(c) , em que é o disco com centro na origem e raio igual a 2 .
(d) , em que .
Passo 1
Vamos calcular cada integral dupla usando coordenadas polares, nas quais
Em cada item, descrevemos a região em termos de e reescrevemos o integrando em função de e .
Passo 2
(a) A região é o setor do primeiro quadrante entre os círculos de raios 1 e 3, ou seja
A integral fica
Fazendo a substituição , , obtemos
Então
Passo 3
(b) Agora é o anel , . O integrando
e
Calculamos
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integral duplaRy^2x^2+y^2,dA=4cdotpi=4pi
Passo 4
(c) Aqui R é o disco 0<= r<=2, 0<=theta<=2pi. O integrando é
cosraizx^2+y^2=cos r,
então
integral duplaRcosraizx^2+y^2,dA =integral0^2piintegral0^2cos r;r,dr,dtheta =2piintegral0^2rcos r,dr