Exercício 1: Considerando os vetores vec{u}=(1,1,0), \vec{v}=(-1,2,1) :
Obtenha o vetor projeção de \vec{u} na direção de \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3 e pede a projeção de \vec{u} na direção de \vec{v}. Dados fornecidos:
  • \vec{u}=(1,1,0).
  • \vec{v}=(-1,2,1).
O que é pedido: obter o vetor projeção de \vec{u} na direção de \vec{v}.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar (dot product) entre dois vetores e como calcular: para dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
O produto escalar aparece na fórmula da projeção. É uma forma de medir “quanto um vetor aponta na direção do outro”.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v} usando os componentes dados:
\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot(-1)+1\cdot 2+0\cdot 1=-1+2+0=1.

Passo 4

Agora precisamos do quadrado da norma de \vec{v}, que é \|\vec{v}\|^2=\vec{v}\cdot\vec{v}. Calcular:
\|\vec{v}\|^2=(-1)^2+2^2+1^2=1+4+1=6.

Passo 5

A fórmula da projeção ortogonal de \vec{u} sobre \vec{v} (também chamada componente de \vec{u} na direção de \vec{v}) é
\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^2}\,\vec{v}.
Aqui:
  • \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar que já calculamos;
  • \|\vec{v}\|^2 é o quadrado da norma de \vec{v} que já calculamos;
  • o quociente é um escalar que multiplica o vetor \vec{v}.

Passo 6

Substituindo os valores que encontramos:
\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^2}=\frac{1}{6}.
Multiplicando esse escalar pelo vetor \vec{v}=(-1,2,1) coordenada a coordenada:
\frac{1}{6}\,(-1,2,1)=\left(-\frac{1}{6},\frac{2}{6},\frac{1}{6}\right).

Passo 7

Simplificando a segunda componente \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}, obtemos o vetor final da projeção como
\left(-\frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{6}\right).

Passo 8

Checagem rápida (dica de prova): a diferença \vec{u}-\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u} deve ser ortogonal a \vec{v}. Se quiser conferir, calcule o produto escalar entre essa diferença e \vec{v} — dará zero. Isso é uma boa maneira de verificar erros aritméticos rapidamente durante a prova.

Resposta

\left(-\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{6}\right)

Exercícios relacionados