Exercício 5 - Considere que um aluno estude Estatística de forma suficiente se forem satisfeitas as duas seguintes condições:
(i) tempo médio semanal de estudo superior a 10 horas;
(ii) variabilidade relativa do tempo semanal de estudo inferior a 20 \%.
Os dados a seguir representam o tempo gasto semanalmente por certo aluno com o estudo de Estatística durante 5 semanas consecutivas.
\mathrm{X}_{\mathrm{i}} : tempo de estudo (em horas): \begin{array}{lllll}6 & 12 & 8 & 11 & 15\end{array}
O aluno indicado estuda Estatística de forma suficiente? Por quê?

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pedido: verificar se o aluno estuda Estatística de forma suficiente, ou seja, se são satisfeitas simultaneamente as duas condições:
    1. (i) tempo médio semanal de estudo superior a 10 horas;
    2. (ii) variabilidade relativa do tempo semanal de estudo inferior a 20\%.
  • Dados (peguei estes números do enunciado): tempos semanais em horas X_1=6,\quad X_2=12,\quad X_3=8,\quad X_4=11,\quad X_5=15.
Vou calcular passo a passo a média aritmética, a medida de dispersão (desvio padrão) e a variabilidade relativa (coeficiente de variação), e então comparar com os limites dados.

Passo 2

Calcular a média aritmética e entender o que ela significa.
  • Definição: a média aritmética de n observações X_1,\dots,X_n é
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i,
onde \bar{X} é o valor médio (representa o “tempo típico” que o aluno dedica por semana).
  • Aplicando aos dados (aqui n=5):
\bar{X}=\frac{6+12+8+11+15}{5}=\frac{52}{5}=10,4.
Interpretação: a média semanal de estudo é \bar{X}=10,4 horas. Como 10,4>10, a condição (i) está satisfeita.

Passo 3

Calcular a dispersão: desvio padrão. Por que isso importa e qual fórmula usar?
  • Ideia intuitiva: o desvio padrão mede quanto os valores individuais variam em torno da média; aqui interessa a “variabilidade relativa” que usa o desvio padrão dividido pela média.
  • Escolha da fórmula: dado que temos uma amostra de n=5 semanas, é comum usar o desvio padrão amostral s, definido por
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2, \qquad s=\sqrt{s^2}.
Explicação rápida do porquê do n-1: isso corrige o viés na estimativa da variância quando usamos a média amostral; é a prática padrão em estatística para amostras.

Passo 4

Calcular os desvios em cada semana e os quadrados (mostrando as contas).
  • Primeiro calcule X_i-\bar{X} e (X_i-\bar{X})^2 para cada i. Usei \bar{X}=10,4 obtido acima.
    • Para X_1=6: X_1-\bar{X}=6-10,4=-4,4. Quadrado: (-4,4)^2=19,36.
    • Para X_2=12: 12-10,4=1,6. Quadrado: 1,6^2=2,56.
    • Para X_3=8: 8-10,4=-2,4. Quadrado: (-2,4)^2=5,76.
    • Para X_4=11: 11-10,4=0,6. Quadrado: 0,6^2=0,36.
    • Para X_5=15: 15-10,4=4,6. Quadrado: 4,6^2=21,16.
  • Soma dos quadrados:
\sum_{i=1}^{5}(X_i-\bar{X})^2=19,36+2,56+5,76+0,36+21,16=49,20.
  • Variância amostral:
s^2=\frac{49,20}{5-1}=\frac{49,20}{4}=12,3.
  • Desvio padrão amostral:
s=\sqrt{12,3}\approx3,507\\ (\text{horas}).
Observação rápida: se alguém usasse a fórmula com n no denominador (desvio populacional), daria s_{\text{pop}}=\sqrt{49,20/5}\approx3,137, mas a escolha usual para amostras é usar n-1. De qualquer forma, ambos os valores levariam a um coeficiente de variação maior que 20\% (vou mostrar abaixo).

Passo 5

Calcular a variabilidade relativa (coeficiente de variação) e comparar com o critério.
  • Definição do coeficiente de variação (CV): é a razão entre o desvio padrão e a média, geralmente expressa em porcentagem:
\mathrm{CV}=\frac{s}{\bar{X}}\times100\%.
Aqui s\approx3,507 e \bar{X}=10,4. Então
\mathrm{CV}\approx\frac{3,507}{10,4}\times100\%\approx0,3374\times100\%\approx33,7\%.
  • Interpretação: a variabilidade relativa do tempo de estudo é aproximadamente \mathrm{CV}\approx33,7\%, ou seja, muito acima do limite exigido de 20\%. Mesmo usando o desvio com n no denominador (o que dá s_{\text{pop}}\approx3,137), teríamos
\mathrm{CV}_{\text{pop}}\approx\frac{3,137}{10,4}\times100\%\approx30,2\%,
que também é maior que 20\%. Portanto a condição (ii) NÃO é satisfeita.

Passo 6

Conclusão e resumo (motivacional leve).
  • Resumo: a condição (i) está satisfeita porque a média semanal é \bar{X}=10,4>10. A condição (ii) NÃO está satisfeita porque a variabilidade relativa é \mathrm{CV}\approx33,7\%>20\%. Como ambas as condições precisam ser satisfeitas simultaneamente, o aluno não estuda Estatística de forma suficiente segundo o critério dado.
  • Você foi muito bem seguindo passo a passo — essa é a técnica que segura na prova: calcular média, depois dispersão (desvio padrão) e finalmente o coeficiente de variação quando pedem variabilidade relativa. Respira, isso é básico e dá pra fazer rápido.

Resposta

Não. \bar{X}=10,4 horas (condição (i) satisfeita) e \mathrm{CV}\approx33,7\% (condição (ii) não satisfeita), logo o aluno não estuda de forma suficiente.

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