Seja \mathcal{B}=\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\} uma base para um espaço vetorial V e sejam v, w \in V e \alpha um escalar. Mostre que: [\alpha v]_{\mathcal{B}}=\alpha[v]_{\mathcal{B}}
Passo 1
O enunciado dá uma base \mathcal{B}=\{v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\} de um espaço vetorial V, um vetor v\in V e um escalar \alpha. A pergunta é: provar que
\mathcal{B} é uma base de V (logo gera V e é linearmente independente).
v\in V e \alpha é um escalar qualquer.
Precisamos relacionar o vetor de coordenadas de \alpha v na base \mathcal{B} com o vetor de coordenadas de v.
Passo 2
O que significa [\; \cdot \;]_{\mathcal{B}}? Por definição, [v]_{\mathcal{B}} é o vetor coluna com as coordenadas de v em relação à base \mathcal{B}. Isso quer dizer que existem escalares c_{1},\dots,c_{n} tais que
Importante: essa representação é única porque \mathcal{B} é linearmente independente. Vou usar essa unicidade mais adiante — explico rapidamente por que ela vale: se tivéssemos duas representações diferentes, a diferença delas seria uma combinação linear nula dos v_i; pela independência linear os coeficientes da diferença teriam que ser todos zero, logo as duas representações coincidem.]
Agora multiplico v pelo escalar \alpha. Usando as propriedades axiomáticas de espaço vetorial (distributividade do produto escalar sobre soma de vetores e associatividade da multiplicação escalar), temos:
Aqui usei que \alpha pode ser puxado para dentro da soma e que \alpha(c_i) é o novo coeficiente escalar de v_i.
Passo 5
A expressão obtida em \alpha v = \sum_{i=1}^{n} (\alpha c_{i}) v_{i} mostra uma escrita de \alpha v como combinação linear dos vetores da base \mathcal{B}. Pela unicidade da representação em uma base (argumentada no Passo 2), os coeficientes dessa combinação são exatamente as coordenadas de \alpha v. Assim
Note que multiplicar o vetor de coordenadas [v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}c_{1}\\\ \vdots\\\ c_{n}\end{pmatrix} pelo escalar \alpha produz exatamente
Comparando com o resultado do Passo 5 concluímos que os dois vetores são iguais.]
Passo 7
Conclusão lógica: como as coordenadas de \alpha v são (\alpha c_{1},\dots,\alpha c_{n})^{T}, que coincidem com \alpha vezes as coordenadas de v, temos a igualdade desejada:
Exemplo curioso (rápido para fixar): em \mathbb{R}^{2} com a base canônica \mathcal{B}=\{(1,0),(0,1)\}, se v=(2,3) então [v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix}. Para \alpha=5, \alpha v=(10,15) e [\alpha v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}10\\\ 15\end{pmatrix}=5\begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix}=5[v]_{\mathcal{B}}. É exatamente o que provamos em geral — se acalmou um pouco? Você mandou bem chegando até aqui!