duas bases do espaço vetorial real ( V,+, \cdot ).
(a) encontre as coordenadas do vetor \left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 4\end{array}\right), em relação à base \mathcal{B} e em relação à base \mathcal{C}.
(b) encontre as matrizes de mudança
da base \mathcal{B}, para a base \mathcal{C};
da base \mathcal{C}, para a base \mathcal{B}.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial V das matrizes 2\times2 triangulares superiores e duas bases \mathcal{B} e \mathcal{C}. Ele pede duas coisas:
(a) As coordenadas do vetor
M=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}
em relação às bases \mathcal{B} e \mathcal{C}.
(b) As matrizes de mudança
\text{(i) da base }\mathcal{B}\text{ para a base }\mathcal{C}; \qquad \text{(ii) da base }\mathcal{C}\text{ para a base }\mathcal{B}.
Portanto as coordenadas de M\] na base \(\mathcal{C} são \bigl(-1,\,-2,\,4\bigr).
Observação pedagógica rápida: sistemas triangulares aparecem com frequência; resolver por substituição é eficiente e faz contas mentais simples — por isso é uma boa técnica pra prova!]
Passo 4
Conceito de matriz de mudança de base.
Seja P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} a matriz que transforma coordenadas em base \mathcal{B} para coordenadas em base \mathcal{C}. Por definição:
para todo vetor v. A forma prática de construir P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} é: cada coluna de P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} é o vetor das coordenadas, em \mathcal{C}, de um vetor da base \mathcal{B}. Ou seja, expresse B_1,B_2,B_3 na base \mathcal{C}; as coordenadas obtidas formam as colunas de P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}.
Passo 5
Construção de P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}.
Precisamos das coordenadas de B_1,B_2,B_3 em relação à base \mathcal{C}.
Para B_1 = \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix} já vemos que B_1=C_1. Então em \mathcal{C}:
[B_1]_{\mathcal{C}} = (1,\,0,\,0).
Para B_2 = \begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix} queremos xC_1+yC_2+zC_3 = B_2. Como já fizemos antes ao achar coordenadas, obtemos (resolvendo o sistema)
[B_2]_{\mathcal{C}} = (-1,\,1,\,0).
(Detalhe: foi solução do sistema x+y+z=0,\; y+z=1,\; z=0.)
Para B_3 = \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} resolvendo xC_1+yC_2+zC_3=B_3 obtemos
[B_3]_{\mathcal{C}} = (0,\,-1,\,1).
(Detalhe: sistema x+y+z=0,\; y+z=0,\; z=1.)
Colocando essas colunas, a matriz de mudança de \mathcal{B} para \mathcal{C} é
que é exatamente [M]_{\mathcal{C}}, confirmação de que a matriz está correta.]
Passo 6
Construção de P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}} (da base \mathcal{C} para \mathcal{B}).
Você pode obter esta matriz como a inversa da anterior, ou construir diretamente: cada coluna de P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}} é as coordenadas, em \mathcal{B}, de um vetor da base \mathcal{C}.
Mas como já expressamos C_1,C_2,C_3 em termos de B_1,B_2,B_3:
É fácil verificar que P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}\cdot P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}} = I, logo são inversas uma da outra, como deve ser.]