Exercício 3. Seja (V,+, \cdot) o espaço das matrizes 2 \times 2 triangulares superiores. Considere
\mathcal{B}=\left\{\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right)\right\} \quad \text { e } \quad \mathcal{C}=\left\{\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right)\right\}
duas bases do espaço vetorial real ( V,+, \cdot ).
(a) encontre as coordenadas do vetor \left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 4\end{array}\right), em relação à base \mathcal{B} e em relação à base \mathcal{C}.
(b) encontre as matrizes de mudança
  • da base \mathcal{B}, para a base \mathcal{C};
  • da base \mathcal{C}, para a base \mathcal{B}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V das matrizes 2\times2 triangulares superiores e duas bases \mathcal{B} e \mathcal{C}. Ele pede duas coisas:
(a) As coordenadas do vetor
M=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}
em relação às bases \mathcal{B} e \mathcal{C}.
(b) As matrizes de mudança
\text{(i) da base }\mathcal{B}\text{ para a base }\mathcal{C}; \qquad \text{(ii) da base }\mathcal{C}\text{ para a base }\mathcal{B}.
As bases fornecidas são:
\mathcal{B}=\left\{B_1=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\\ B_2=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\\ B_3=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}\right\}
e
\mathcal{C}=\left\{C_1=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\\ C_2=\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\\ C_3=\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]0&1\end{pmatrix}\right\}.]

Passo 2

Conceito e estratégia para (a) em relação a \mathcal{B}.
Quando pedem as coordenadas de M em relação a uma base, queremos escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
M=\alpha B_1+\beta B_2+\gamma B_3.
Isto significa escrever M como combinação linear dos vetores da base; as coordenadas são os coeficientes \alpha,\beta,\gamma.
Agora escrevemos a combinação explicitamente. Lembrando que
B_1=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\quad B_2=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\quad B_3=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix},
temos
\alpha B_1+\beta B_2+\gamma B_3 = \begin{pmatrix}\alpha & \beta \\[4pt] 0 & \gamma\end{pmatrix}.
Igualando com M=\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]0&4\end{pmatrix} obtemos um sistema muito simples de equações:
\alpha=1,\quad \beta=2,\quad \gamma=4.
Portanto as coordenadas de M na base \mathcal{B} são \bigl(1,\,2,\,4\bigr).]

Passo 3

Conceito e estratégia para (a) em relação a [\mathcal{C}).
Para achar as coordenadas de M na base \mathcal{C} procuramos escalares x,y,z tais que
M = xC_1 + yC_2 + zC_3.
É útil expressar os vetores da base \mathcal{C} em termos de B_1,B_2,B_3. Observamos:
C_1 = B_1, \quad C_2 = B_1 + B_2, \quad C_3 = B_1 + B_2 + B_3.
Somando xC_1+yC_2+zC_3 obtemos, coletando pelas matrizes B_i,
xC_1+yC_2+zC_3 = (x+y+z)B_1 + (y+z)B_2 + zB_3.
Isso equivale à matriz
\begin{pmatrix}x+y+z &\; y+z \\[4pt] 0 &\; z\end{pmatrix}.
Comparando com M=\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]0&4\end{pmatrix} obtemos o sistema triangular
\begin{cases} x+y+z=1,\\[4pt] y+z=2,\\[4pt] z=4. \end{cases}
Resolvendo de baixo para cima (substituição):
z=4,\qquad y=2-z=2-4=-2,\qquad x=1-y-z=1-(-2)-4=-1.
Portanto as coordenadas de M\] na base \(\mathcal{C} são \bigl(-1,\,-2,\,4\bigr).
Observação pedagógica rápida: sistemas triangulares aparecem com frequência; resolver por substituição é eficiente e faz contas mentais simples — por isso é uma boa técnica pra prova!]

Passo 4

Conceito de matriz de mudança de base.
Seja P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} a matriz que transforma coordenadas em base \mathcal{B} para coordenadas em base \mathcal{C}. Por definição:
[v]_{\mathcal{C}} = P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}\,[v]_{\mathcal{B}}
para todo vetor v. A forma prática de construir P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} é: cada coluna de P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} é o vetor das coordenadas, em \mathcal{C}, de um vetor da base \mathcal{B}. Ou seja, expresse B_1,B_2,B_3 na base \mathcal{C}; as coordenadas obtidas formam as colunas de P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}.

Passo 5

Construção de P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}.
Precisamos das coordenadas de B_1,B_2,B_3 em relação à base \mathcal{C}.
  • Para B_1 = \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix} já vemos que B_1=C_1. Então em \mathcal{C}:
[B_1]_{\mathcal{C}} = (1,\,0,\,0).
  • Para B_2 = \begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix} queremos xC_1+yC_2+zC_3 = B_2. Como já fizemos antes ao achar coordenadas, obtemos (resolvendo o sistema)
[B_2]_{\mathcal{C}} = (-1,\,1,\,0).
(Detalhe: foi solução do sistema x+y+z=0,\; y+z=1,\; z=0.)
  • Para B_3 = \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} resolvendo xC_1+yC_2+zC_3=B_3 obtemos
[B_3]_{\mathcal{C}} = (0,\,-1,\,1).
(Detalhe: sistema x+y+z=0,\; y+z=0,\; z=1.)
Colocando essas colunas, a matriz de mudança de \mathcal{B} para \mathcal{C} é
P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Checagem rápida (útil na prova): aplique essa matriz ao vetor de coordenadas [M]_{\mathcal{B}}=(1,2,4)^\top:
\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\[4pt]0 & 1 & -1\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1-2+0\\[4pt]0+2-4\\[4pt]4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]-2\\[4pt]4\end{pmatrix},
que é exatamente [M]_{\mathcal{C}}, confirmação de que a matriz está correta.]

Passo 6

Construção de P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}} (da base \mathcal{C} para \mathcal{B}).
Você pode obter esta matriz como a inversa da anterior, ou construir diretamente: cada coluna de P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}} é as coordenadas, em \mathcal{B}, de um vetor da base \mathcal{C}.
Mas como já expressamos C_1,C_2,C_3 em termos de B_1,B_2,B_3:
C_1 = B_1 \quad\Rightarrow\quad [C_1]_{\mathcal{B}}=(1,0,0),
C_2 = B_1+B_2 \quad\Rightarrow\quad [C_2]_{\mathcal{B}}=(1,1,0),
C_3 = B_1+B_2+B_3 \quad\Rightarrow\quad [C_3]_{\mathcal{B}}=(1,1,1).
Colocando essas colunas, obtemos
P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
É fácil verificar que P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}\cdot P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}} = I, logo são inversas uma da outra, como deve ser.]

Resposta

\,[M]_{\mathcal{B}}=(1,\,2,\,4)
\,[M]_{\mathcal{C}}=(-1,\,-2,\,4)
P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}]

Exercícios relacionados