Exercício 7. Consideremos as seguintes bases de mathbb{R}^{2} e de mathbb{R}^{3} :
(b) B=\{(1,0,0),(0,1,1),(1,1,2)\}
Ortonormalizar essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.

Passo 1

O enunciado dá a base
B = \{\,v_1=(1,0,0),\;v_2=(0,1,1),\;v_3=(1,1,2)\}
em \mathbb{R}^3 e pede para ortonormalizá-la pelo processo de Gram-Schmidt usando o produto interno usual. Vamos construir vetores ortogonais u_1,u_2,u_3 e depois normalizá-los para obter e_1,e_2,e_3.

Passo 2

Primeiro escolhemos
u_1 = v_1 = (1,0,0).
Em seguida normalizamos
\|u_1\| = \sqrt{1^2+0^2+0^2} = 1,
logo
e_1 = \frac{u_1}{\|u_1\|} = (1,0,0).

Passo 3

Agora tomamos
u_2 = v_2 - \proj_{e_1}(v_2),
onde
\proj_{e_1}(v_2) = \bigl\langle v_2,e_1\bigr\rangle e_1 = (0\cdot1 + 1\cdot0 + 1\cdot0)\,(1,0,0) = (0,0,0).
Logo u_2 = (0,1,1). Seu comprimento é
\|u_2\| = \sqrt{0^2+1^2+1^2} = \sqrt{2},
e
e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|} = \Bigl(0,\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\Bigr).

Passo 4

Por fim,
u_3 = v_3 - \proj_{e_1}(v_3) - \proj_{e_2}(v_3).
Calculamos
\proj_{e_1}(v_3) = \langle v_3,e_1\rangle e_1 = (1\cdot1+1\cdot0+2\cdot0)\,(1,0,0) = (1,0,0),
\langle v_3,e_2\rangle = 1\cdot0 + 1\cdot\frac1{\sqrt2} + 2\cdot\frac1{\sqrt2} = \frac{3}{\sqrt2}, \quad \proj_{e_2}(v_3) = \frac{3}{\sqrt2}\Bigl(0,\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\Bigr) = \bigl(0,\tfrac32,\tfrac32\bigr).
Então
u_3 = (1,1,2) - (1,0,0) - \bigl(0,\tfrac32,\tfrac32\bigr) = \bigl(0,1,2\bigr) - \bigl(0,\tfrac32,\tfrac32\bigr) = \bigl(0,-\tfrac12,\tfrac12\bigr).
Seu comprimento é
\|u_3\| = \sqrt{0^2 + (-\tfrac12)^2 + (\tfrac12)^2} = \sqrt{\tfrac14+\tfrac14} = \frac1{\sqrt2},
logo
e_3 = \frac{u_3}{\|u_3\|} = \bigl(0,-\tfrac12,\tfrac12\bigr)\big/\tfrac1{\sqrt2} = \Bigl(0,-\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\Bigr).

Resposta

A base ortonormal obtida é
\Bigl\{ (1,0,0),\; \bigl(0,\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\bigr),\; \bigl(0,-\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\bigr) \Bigr\}.

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