Exercício 5:
Considere o círculo de raio
centrado na origem. Encontre, de modo analítico, os pontos onde a reta tangente ao círculo é vertical e, após, horizontal.
Considere o círculo de raio
Passo 1
O enunciado dá um círculo de raio
centrado na origem e pede duas coisas:
- Encontrar os pontos onde a reta tangente ao círculo é vertical.
- Encontrar os pontos onde a reta tangente ao círculo é horizontal.
Informações relevantes dadas:
onde
é o raio (assumimos
). Nada mais foi fornecido. A resolução começa a partir dessa equação.
Passo 2
O que significa “reta tangente ter determinada inclinação”?
- A inclinação da reta tangente a uma curva
num ponto é dada pela derivada naquele ponto; essa derivada é o coeficiente angular da reta tangente. - Se a reta tangente é horizontal, isso quer dizer que a inclinação é zero, ou seja
. - Se a reta tangente é vertical, a inclinação é infinita (ou a derivada
não existe por divisão por zero): na prática isso ocorre quando, ao tentar calcular por expressão do tipo , o denominador é zero (ou seja no nosso caso).
Como o círculo não é dado explicitamente como
globalmente (ele tem duas partes: superior e inferior), vamos usar diferenciação implícita: diferente de isolar
em função de
, aplicamos a derivada nas duas variáveis diretamente na equação
.
Passo 3
Diferenciação implícita passo a passo:
- Tome a equação do círculo:
- Derive ambos os lados em relação a
. Lembre-se: ao derivar em relação a usa-se a regra da cadeia, obtendo . Ao derivar obtemos . O lado direito é constante, então sua derivada é . Assim:
- Agora isolamos
:
Essa é a fórmula da inclinação da tangente em qualquer ponto
do círculo com
.
Passo 4
Condição para tangente horizontal:
- Como dito, tangente horizontal significa inclinação zero:
- Usando a expressão que encontramos:
Uma fração
é zero exatamente quando o numerador é zero (e o denominador é diferente de zero). Portanto:
- Agora imponha que o ponto
esteja no círculo. Colocando na equação do círculo:
- Logo
. Como queremos e , os pontos obtidos são
Esses são os pontos onde a reta tangente ao círculo é horizontal.
Passo 5
Condição para tangente vertical:
- Tangente vertical corresponde a inclinação “infinita” ou, na expressão
, a situação em que a derivada não está definida por divisão por zero. Ou seja, quando (denominador zero). Então consideramos:
- Impondo que o ponto esteja no círculo:
- Assim
. Os pontos do círculo com são
Nesses pontos a tangente é vertical.
Passo 6
Checagem e observações finais rápidas:
- Caso degenerate
(círculo de raio zero), o “círculo” é só o ponto e as noções de tangente ficam degeneradas; por isso assumimos . - Para visualizar: no círculo unitário (
), horizontais em e ; verticais em e . Isso bate com o que encontramos.
Resposta
Pontos com tangente vertical:
e
Pontos com tangente horizontal: e
Pontos com tangente horizontal: