Exercício 5:
Considere o círculo de raio a centrado na origem. Encontre, de modo analítico, os pontos onde a reta tangente ao círculo é vertical e, após, horizontal.

Passo 1

O enunciado dá um círculo de raio a centrado na origem e pede duas coisas:
  1. Encontrar os pontos onde a reta tangente ao círculo é vertical.
  2. Encontrar os pontos onde a reta tangente ao círculo é horizontal.
Informações relevantes dadas:
\text{o círculo: } x^{2}+y^{2}=a^{2},í
onde a é o raio (assumimos a>0). Nada mais foi fornecido. A resolução começa a partir dessa equação.

Passo 2

O que significa “reta tangente ter determinada inclinação”?
  • A inclinação da reta tangente a uma curva y=y(x) num ponto é dada pela derivada \dfrac{dy}{dx} naquele ponto; essa derivada é o coeficiente angular da reta tangente.
  • Se a reta tangente é horizontal, isso quer dizer que a inclinação é zero, ou seja \dfrac{dy}{dx}=0.
  • Se a reta tangente é vertical, a inclinação é infinita (ou a derivada \dfrac{dy}{dx} não existe por divisão por zero): na prática isso ocorre quando, ao tentar calcular \dfrac{dy}{dx} por expressão do tipo -\dfrac{x}{y}, o denominador é zero (ou seja y=0 no nosso caso).
Como o círculo não é dado explicitamente como y=f(x) globalmente (ele tem duas partes: superior e inferior), vamos usar diferenciação implícita: diferente de isolar y em função de x, aplicamos a derivada nas duas variáveis diretamente na equação \;x^{2}+y^{2}=a^{2}\;.

Passo 3

Diferenciação implícita passo a passo:
  • Tome a equação do círculo:
x^{2}+y^{2}=a^{2}.
  • Derive ambos os lados em relação a x. Lembre-se: ao derivar y^{2} em relação a x usa-se a regra da cadeia, obtendo 2y\cdot \dfrac{dy}{dx}. Ao derivar x^{2} obtemos 2x. O lado direito a^{2} é constante, então sua derivada é 0. Assim:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(a^{2}\bigr)
2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0.
  • Agora isolamos \dfrac{dy}{dx}:
2y\frac{dy}{dx} = -2x
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.
Essa é a fórmula da inclinação da tangente em qualquer ponto (x,y) do círculo com y\neq 0.

Passo 4

Condição para tangente horizontal:
  • Como dito, tangente horizontal significa inclinação zero:
\frac{dy}{dx}=0.
  • Usando a expressão que encontramos:
-\frac{x}{y}=0.
Uma fração -\dfrac{x}{y} é zero exatamente quando o numerador é zero (e o denominador é diferente de zero). Portanto:
x=0 \quad\text{e}\quad y\neq 0.
  • Agora imponha que o ponto (x,y) esteja no círculo. Colocando x=0 na equação do círculo:
0^{2}+y^{2}=a^{2}\quad\Rightarrow\quad y^{2}=a^{2}.
  • Logo y=\pm a. Como queremos y\neq 0 e a>0, os pontos obtidos são
(0,a)\quad\text{e}\quad(0,-a).
Esses são os pontos onde a reta tangente ao círculo é horizontal.

Passo 5

Condição para tangente vertical:
  • Tangente vertical corresponde a inclinação “infinita” ou, na expressão \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}, a situação em que a derivada não está definida por divisão por zero. Ou seja, quando y=0 (denominador zero). Então consideramos:
y=0.
  • Impondo que o ponto esteja no círculo:
x^{2}+0^{2}=a^{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}=a^{2}.
  • Assim x=\pm a. Os pontos do círculo com y=0 são
(a,0)\quad\text{e}\quad(-a,0).
Nesses pontos a tangente é vertical.

Passo 6

Checagem e observações finais rápidas:
  • Caso degenerate a=0 (círculo de raio zero), o “círculo” é só o ponto (0,0) e as noções de tangente ficam degeneradas; por isso assumimos a>0.
  • Para visualizar: no círculo unitário ( a=1), horizontais em (0,1) e (0,-1); verticais em (1,0) e (-1,0). Isso bate com o que encontramos.

Resposta

Pontos com tangente vertical: (a,0) e (-a,0)
Pontos com tangente horizontal: (0,a) e (0,-a)

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