Exercício 7: Mostre que a curvatura da curva
é
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a curvatura da curva
e dá a expressão alvo para a curvatura.
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
A tarefa é calcular a curvatura
dessa curva, ou seja, obter uma expressão explícita em função de
.
Passo 2
Vamos recordar a fórmula que usamos para curvatura em curvas no espaço (essa é a ferramenta principal). A curvatura mede “o quanto” a direção da tangente muda com o comprimento de arco. Uma fórmula prática que usaremos é
Explicando cada coisa:
-
é o vetor velocidade (derivada de em relação a ). -
é a derivada de (aceleração). -
é o produto vetorial (cross product) entre vetores em . -
é a norma euclidiana (comprimento do vetor). - A razão aparece porque a curvatura é
, onde é o versor tangente e é o comprimento de arco; com mudança de parametrização por chega-se à fórmula acima.
Vou aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Calcular
. Derivamos cada componente usando a regra do produto para as duas primeiras componentes (lembre:
porque derivada de
é
e de
é
).
Portanto
Aqui eu indiquei explicitamente cada componente para você poder repetir a conta na prova.
Passo 4
Calcular
. Derivamos novamente componente a componente. Para a primeira componente, derivada de
dá
Para a segunda componente, derivada de
dá
A terceira componente é constante
, então sua derivada é
. Logo
Passo 5
Calcular o produto vetorial
. Usamos a fórmula do determinante (expansão por cofatores) ou a regra para componentes:
Se e
então
Se
Aqui
,
,
,
,
,
. Aplicando a fórmula obtemos:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Agora fatoramos
e simplificamos:
Dentro do parêntese:
Portanto a terceira componente é
. Assim
Passo 6
Calcular a norma
. A norma ao quadrado é soma dos quadrados das componentes:
Isso dá
Usando
obtemos
Tomando raiz positiva,
Passo 7
Calcular
e então
. Primeiro a norma ao quadrado de
:
Fatorando
nas duas primeiras parcelas:
Expandindo os quadrados:
Somando esses dois dá
. Portanto
Logo
Passo 8
Agora aplicamos a fórmula da curvatura:
Essa é a expressão simplificada da curvatura obtida a partir das contas anteriores. Se quiser, dá para checar numericamente em algum valor de
para confirmar que as contas algébricas estão coerentes.