Exercício 7: Mostre que a curvatura da curva r(t)=\left(e^{t} \cos (t), e^{t} \operatorname{sen}(t), t\right) é
k(t)=2 e^{t} \frac{\sqrt{1+4 e^{t}}}{\left(1+2 e^{2 t}\right)^{3 / 2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a curvatura da curva \,r(t)=\big(e^{t}\cos t,\; e^{t}\sin t,\; t\big)\, e dá a expressão alvo para a curvatura.
Informações dadas que vamos usar:
r(t)=\big(e^{t}\cos t,\; e^{t}\sin t,\; t\big).
A tarefa é calcular a curvatura k(t) dessa curva, ou seja, obter uma expressão explícita em função de t.

Passo 2

Vamos recordar a fórmula que usamos para curvatura em curvas no espaço (essa é a ferramenta principal). A curvatura mede “o quanto” a direção da tangente muda com o comprimento de arco. Uma fórmula prática que usaremos é
k(t)=\frac{\|r'(t)\times r''(t)\|}{\|r'(t)\|^{3}}.
Explicando cada coisa:
  • r'(t) é o vetor velocidade (derivada de r em relação a t).
  • r''(t) é a derivada de r'(t) (aceleração).
  • \times é o produto vetorial (cross product) entre vetores em \mathbb{R}^3.
  • \|\cdot\| é a norma euclidiana (comprimento do vetor).
  • A razão aparece porque a curvatura é \|dT/ds\|, onde T é o versor tangente e s é o comprimento de arco; com mudança de parametrização por t chega-se à fórmula acima.
    Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Calcular r'(t). Derivamos cada componente usando a regra do produto para as duas primeiras componentes (lembre: (e^t\cos t)' = e^t\cos t - e^t\sin t porque derivada de e^t é e^t e de \cos t é -\sin t).
Portanto
r'(t)=\big(e^{t}(\cos t-\sin t),\; e^{t}(\sin t+\cos t),\; 1\big).
Aqui eu indiquei explicitamente cada componente para você poder repetir a conta na prova.

Passo 4

Calcular r''(t). Derivamos novamente componente a componente. Para a primeira componente, derivada de e^{t}(\cos t-\sin t)
e^{t}(\cos t-\sin t)+e^{t}(-\sin t-\cos t)=e^{t}\big((\cos t-\sin t)+(-\sin t-\cos t)\big)= -2e^{t}\sin t.
Para a segunda componente, derivada de e^{t}(\sin t+\cos t)
e^{t}(\sin t+\cos t)+e^{t}(\cos t-\sin t)=2e^{t}\cos t.
A terceira componente é constante 1, então sua derivada é 0. Logo
r''(t)=\big(-2e^{t}\sin t,\; 2e^{t}\cos t,\; 0\big).

Passo 5

Calcular o produto vetorial r'(t)\times r''(t). Usamos a fórmula do determinante (expansão por cofatores) ou a regra para componentes:
Se r'=(a,b,c) e r''=(d,e,f) então
r'\times r''=(bf-ce,\; cd-af,\; ae-bd).
Aqui a=e^{t}(\cos t-\sin t), b=e^{t}(\sin t+\cos t), c=1,
d=-2e^{t}\sin t, e=2e^{t}\cos t, f=0. Aplicando a fórmula obtemos:
Primeira componente:
(b\cdot 0 - 1\cdot 2e^{t}\cos t) = -2e^{t}\cos t.
Segunda componente:
(1\cdot (-2e^{t}\sin t) - a\cdot 0) = -2e^{t}\sin t.
Terceira componente:
a\cdot e - b\cdot d = e^{t}(\cos t-\sin t)\cdot 2e^{t}\cos t \;-\; e^{t}(\sin t+\cos t)\cdot(-2e^{t}\sin t).
Agora fatoramos 2e^{2t} e simplificamos:
a e - b d = 2e^{2t}\big(\cos t(\cos t-\sin t) + \sin t(\sin t+\cos t)\big).
Dentro do parêntese:
\cos t(\cos t-\sin t) + \sin t(\sin t+\cos t) = \cos^{2}t -\sin t\cos t + \sin^{2}t + \sin t\cos t = \cos^{2}t+\sin^{2}t = 1.
Portanto a terceira componente é 2e^{2t}. Assim
r'(t)\times r''(t)=\big(-2e^{t}\cos t,\; -2e^{t}\sin t,\; 2e^{2t}\big).

Passo 6

Calcular a norma \|r'(t)\times r''(t)\|. A norma ao quadrado é soma dos quadrados das componentes:
\|r'\times r''\|^{2} = (-2e^{t}\cos t)^{2}+(-2e^{t}\sin t)^{2}+(2e^{2t})^{2}.
Isso dá
4e^{2t}\cos^{2}t + 4e^{2t}\sin^{2}t + 4e^{4t} = 4e^{2t}(\cos^{2}t+\sin^{2}t) + 4e^{4t}.
Usando \cos^{2}t+\sin^{2}t=1 obtemos
\|r'\times r''\|^{2} = 4e^{2t} + 4e^{4t} = 4e^{2t}(1+e^{2t}).
Tomando raiz positiva,
\|r'(t)\times r''(t)\| = 2e^{t}\sqrt{1+e^{2t}}.

Passo 7

Calcular \|r'(t)\| e então \|r'(t)\|^{3}. Primeiro a norma ao quadrado de r'(t):
\|r'(t)\|^{2} = \big(e^{t}(\cos t-\sin t)\big)^{2} + \big(e^{t}(\sin t+\cos t)\big)^{2} + 1^{2}.
Fatorando e^{2t} nas duas primeiras parcelas:
\|r'\|^{2} = e^{2t}\big((\cos t-\sin t)^{2}+(\sin t+\cos t)^{2}\big) + 1.
Expandindo os quadrados:
(\cos t-\sin t)^{2} = \cos^{2}t -2\sin t\cos t + \sin^{2}t,
(\sin t+\cos t)^{2} = \sin^{2}t +2\sin t\cos t + \cos^{2}t.
Somando esses dois dá 2(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=2. Portanto
\|r'\|^{2} = e^{2t}\cdot 2 + 1 = 1 + 2e^{2t}.
Logo
\|r'(t)\| = \sqrt{1+2e^{2t}},\qquad \|r'(t)\|^{3} = \big(1+2e^{2t}\big)^{3/2}.

Passo 8

Agora aplicamos a fórmula da curvatura:
k(t)=\frac{\|r'(t)\times r''(t)\|}{\|r'(t)\|^{3}} = \frac{2e^{t}\sqrt{1+e^{2t}}}{\big(1+2e^{2t}\big)^{3/2}}.
Essa é a expressão simplificada da curvatura obtida a partir das contas anteriores. Se quiser, dá para checar numericamente em algum valor de t para confirmar que as contas algébricas estão coerentes.

Resposta

k(t)=\frac{2e^{t}\sqrt{1+e^{2t}}}{\big(1+2e^{2t}\big)^{3/2}}

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