Exercício 6: Em que ponto da curva
, a reta tangente é paralela ao plano
?
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pergunta: em que ponto dessa curva a reta tangente é paralela ao plano
?\n
Informações relevantes que temos do enunciado:
Informações relevantes que temos do enunciado:
O que o problema pede explicitamente: encontrar o(s) ponto(s)
(isto é, o(s) valor(es) de
e suas coordenadas) tais que a reta tangente à curva em
seja paralela ao plano dado.
Passo 2
Entendendo o que significa “reta tangente à curva” e qual é seu vetor-direção. Para uma curva dada por
, o vetor tangente em
é dado pela derivada
. Esse vetor indica a direção da reta tangente naquele ponto.\n
Vamos calcular . Derivando componente a componente:
Vamos calcular
então
Explicando as derivadas: a derivada de
é
, da
é
, e de
é
. A constante
sai multiplicando.
Passo 3
Entendendo o que significa “reta paralela ao plano”. Uma reta é paralela a um plano quando seu vetor-direção é paralelo ao próprio plano. Um vetor
é paralelo a um plano se e somente se ele é ortogonal ao vetor normal do plano.\n
Para o plano dado pela equação , o vetor normal
pode ser lido diretamente dos coeficientes das variáveis
. A equação geral de um plano é
; aqui temos
,
e
. Portanto
Para o plano dado pela equação
Passo 4
Condição matemática para a reta tangente ser paralela ao plano: o vetor tangente
deve ser ortogonal ao normal
. Isso se expressa pelo produto escalar igual a zero:
Substituindo
e
, temos
Calculando o produto escalar:
Ou seja,
Passo 5
Resolver a equação obtida. Como
, podemos dividir por
sem problema, obtendo
Reescrevendo,
Dividindo ambos os lados por
(isto exige
; vamos tratar o caso
separadamente), obtemos
ou
Recordando trigonometria básica:
corresponde aos ângulos onde
, para
. Agora precisamos considerar o intervalo
. As soluções neste intervalo são:
porém
, então não está no intervalo permitido. Portanto a única candidata é
Verificação do caso
: se
, a equação original
fica
, o que dá
. Mas não existe
com
e
ao mesmo tempo. Logo nenhum outro caso aparece; a única solução válida é
.
Passo 6
Calcular as coordenadas do ponto correspondente a
. Substituímos em
:
Usando valores trigonométricos conhecidos:
e
. Então
Esse é o ponto da curva onde a reta tangente é paralela ao plano.