Exercício 6: Em que ponto da curva r(t)=\left(a \operatorname{sen}(t), a \cos (t), e^{t}\right), a \neq 0,0 \leq t \leq \pi, a reta tangente é paralela ao plano x+\sqrt{3} y=0 ?

Passo 1

O enunciado dá a curva
r(t)=\bigl(a\operatorname{sen}(t),\,a\cos(t),\,e^{t}\bigr),\quad a\neq 0,\quad 0\le t\le \pi,
e pergunta: em que ponto dessa curva a reta tangente é paralela ao plano x+\sqrt{3}\,y=0 ?\n
Informações relevantes que temos do enunciado:
\text{Curva: } r(t)=\bigl(a\operatorname{sen}(t),\,a\cos(t),\,e^{t}\bigr).
\text{Parâmetro } t \text{ varia em }[0,\pi].â
\text{Plano: } x+\sqrt{3}\,y=0.
\text{Constante: } a\neq 0.
O que o problema pede explicitamente: encontrar o(s) ponto(s) r(t) (isto é, o(s) valor(es) de t e suas coordenadas) tais que a reta tangente à curva em t seja paralela ao plano dado.

Passo 2

Entendendo o que significa “reta tangente à curva” e qual é seu vetor-direção. Para uma curva dada por r(t), o vetor tangente em t é dado pela derivada r'(t). Esse vetor indica a direção da reta tangente naquele ponto.\n
Vamos calcular r'(t). Derivando componente a componente:
r(t)=\bigl(a\operatorname{sen}(t),\,a\cos(t),\,e^{t}\bigr),
então
r'(t)=\bigl(a\cos(t),\,-a\operatorname{sen}(t),\,e^{t}\bigr).
Explicando as derivadas: a derivada de \operatorname{sen}(t) é \cos(t), da \cos(t) é -\operatorname{sen}(t), e de e^{t} é e^{t}. A constante a sai multiplicando.

Passo 3

Entendendo o que significa “reta paralela ao plano”. Uma reta é paralela a um plano quando seu vetor-direção é paralelo ao próprio plano. Um vetor v é paralelo a um plano se e somente se ele é ortogonal ao vetor normal do plano.\n
Para o plano dado pela equação x+\sqrt{3}\,y=0, o vetor normal \mathbf{n} pode ser lido diretamente dos coeficientes das variáveis x,y,z. A equação geral de um plano é n_1x+n_2y+n_3z+d=0; aqui temos n_1=1, n_2=\sqrt{3} e n_3=0. Portanto
\mathbf{n}=(1,\,\sqrt{3},\,0).

Passo 4

Condição matemática para a reta tangente ser paralela ao plano: o vetor tangente r'(t) deve ser ortogonal ao normal \mathbf{n}. Isso se expressa pelo produto escalar igual a zero:
r'(t)\cdot \mathbf{n}=0.
Substituindo r'(t)=\bigl(a\cos(t),\,-a\operatorname{sen}(t),\,e^{t}\bigr) e \mathbf{n}=(1,\,\sqrt{3},\,0), temos
\bigl(a\cos(t),\,-a\operatorname{sen}(t),\,e^{t}\bigr)\cdot(1,\,\sqrt{3},\,0)=0.
Calculando o produto escalar:
a\cos(t)\cdot 1 + (-a\operatorname{sen}(t))\cdot\sqrt{3} + e^{t}\cdot 0 = 0.
Ou seja,
a\bigl(\cos(t)-\sqrt{3}\operatorname{sen}(t)\bigr)=0.

Passo 5

Resolver a equação obtida. Como a\neq 0, podemos dividir por a sem problema, obtendo
\cos(t)-\sqrt{3}\operatorname{sen}(t)=0.
Reescrevendo,
\cos(t)=\sqrt{3}\operatorname{sen}(t).
Dividindo ambos os lados por \cos(t) (isto exige \cos(t)\neq 0; vamos tratar o caso \cos(t)=0 separadamente), obtemos
1=\sqrt{3}\tan(t),
ou
\tan(t)=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Recordando trigonometria básica: \tan(t)=1/\sqrt{3} corresponde aos ângulos onde t=\pi/6+k\pi, para k\in\mathbb{Z}. Agora precisamos considerar o intervalo 0\le t\le\pi. As soluções neste intervalo são:
t=\frac{\pi}{6}\quad\text{e}\quad t=\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{7\pi}{6},
porém \frac{7\pi}{6}>\pi, então não está no intervalo permitido. Portanto a única candidata é
t=\frac{\pi}{6}.
Verificação do caso \cos(t)=0: se \cos(t)=0, a equação original \cos(t)-\sqrt{3}\operatorname{sen}(t)=0 fica -\sqrt{3}\operatorname{sen}(t)=0, o que dá \operatorname{sen}(t)=0. Mas não existe t com \cos(t)=0 e \operatorname{sen}(t)=0 ao mesmo tempo. Logo nenhum outro caso aparece; a única solução válida é t=\pi/6.

Passo 6

Calcular as coordenadas do ponto correspondente a t=\pi/6. Substituímos em r(t):
r\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\bigl(a\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right),\,a\cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right),\,e^{\pi/6}\bigr).
Usando valores trigonométricos conhecidos: \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{1}{2} e \cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Então
r\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\biggl(\tfrac{a}{2},\,\tfrac{a\sqrt{3}}{2},\,e^{\pi/6}\biggr).
Esse é o ponto da curva onde a reta tangente é paralela ao plano.

Resposta

\displaystyle \left(\tfrac{a}{2},\,\tfrac{a\sqrt{3}}{2},\,e^{\pi/6}\right)

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