Exercício 9. Suponha que U é um subespaço de V. O que seria U+U ?

Passo 1

O enunciado diz que U é um subespaço de um espaço vetorial V e pergunta qual é o subespaço U+U. O conteúdo aqui é a definição de soma de subespaços e as propriedades de subespaço (fechamento sob adição e existência do vetor zero).

Passo 2

Pela definição de soma de subespaços,
U + U = \{\,u_1 + u_2 \mid u_1 \in U,\;u_2 \in U\}.
Como U é subespaço, ele é fechado sob adição, ou seja, para quaisquer u_1,u_2\in U temos u_1+u_2\in U. Logo
U + U \subseteq U.

Passo 3

Para a inclusão inversa, note que U contém o vetor zero, 0\in U. Assim, dado qualquer u\in U, podemos escrever
u = u + 0
com u\in U e 0\in U. Daí u\in U+U, o que mostra
U \subseteq U + U.

Passo 4

Como temos tanto U + U \subseteq U quanto U \subseteq U + U, concluímos que
U + U = U.

Resposta

U + U = U

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