Exercício 9. Suponha que
é um subespaço de
. O que seria
?
Passo 1
O enunciado diz que
é um subespaço de um espaço vetorial
e pergunta qual é o subespaço
. O conteúdo aqui é a definição de soma de subespaços e as propriedades de subespaço (fechamento sob adição e existência do vetor zero).
Passo 2
Pela definição de soma de subespaços,
Como
é subespaço, ele é fechado sob adição, ou seja, para quaisquer
temos
. Logo
Passo 3
Para a inclusão inversa, note que
contém o vetor zero,
. Assim, dado qualquer
, podemos escrever
com
e
. Daí
, o que mostra
Passo 4
Como temos tanto
quanto
, concluímos que