Exercício 13. Prove ou dê um contraexemplo: se
e
são subespaços de
tais que
então
.
Passo 1
O enunciado diz que
,
e
são subespaços de um espaço vetorial
tais que
Ele pede para provar que isso implica
ou fornecer um contraexemplo.
Conteúdo: soma de subespaços. Vamos relembrar a definição e depois mostrar um contraexemplo em .
Conteúdo: soma de subespaços. Vamos relembrar a definição e depois mostrar um contraexemplo em
Passo 2
Definição de soma de subespaços:
Se
, a questão é saber se isso obriga
. Em geral não obriga, pois diferentes subespaços podem “completar”
ao mesmo subespaço maior.
Passo 3
Escolhemos
e definimos
Claramente
porque as retas
e
são distintas.
Passo 4
Mostramos que tanto
quanto
valem todo
.
Dado um vetor arbitrário , escrevemos
Dado um vetor arbitrário
com
e
adequados se escolhermos
e
. Então
logo
.
De modo análogo, para
tomamos
com
e
, e achamos
logo
.
Passo 5
Como
mas
, temos um contraexemplo que mostra que a igualdade das somas não implica
.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contraexemplo em
é
pois
mas
.