Exercício 13. Prove ou dê um contraexemplo: se V_{1}, V_{2} e U são subespaços de V tais que
V_{1}+U=V_{2}+U,
então V_{1}=V_{2}.

Passo 1

O enunciado diz que V_{1}, V_{2} e U são subespaços de um espaço vetorial V tais que
V_{1}+U \;=\; V_{2}+U.
Ele pede para provar que isso implica V_{1}=V_{2} ou fornecer um contraexemplo.
Conteúdo: soma de subespaços. Vamos relembrar a definição e depois mostrar um contraexemplo em \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Definição de soma de subespaços:
V_{1}+U \;=\;\bigl\{\,v_1 + u \mid v_1\in V_{1},\,u\in U\bigr\}.
Se V_{1}+U=V_{2}+U, a questão é saber se isso obriga V_{1}=V_{2}. Em geral não obriga, pois diferentes subespaços podem “completar” U ao mesmo subespaço maior.

Passo 3

Escolhemos V=\mathbb{R}^{2} e definimos
U = \operatorname{span}\{(1,0)\},\quad V_{1} = \operatorname{span}\{(1,1)\},\quad V_{2} = \operatorname{span}\{(1,2)\}.
Claramente V_{1}\neq V_{2} porque as retas y=x e y=2x são distintas.

Passo 4

Mostramos que tanto V_{1}+U quanto V_{2}+U valem todo \mathbb{R}^{2}.
Dado um vetor arbitrário (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, escrevemos
(x,y) \;=\; (a,a) + (b,0)
com a,y e b adequados se escolhermos a=y e b=x-y. Então
(x,y) = (y,y) + (\,x-y,\,0)\in V_{1}+U,
logo V_{1}+U=\mathbb{R}^{2}.
De modo análogo, para V_{2} tomamos
(x,y) \;=\; (c,2c) + (d,0)
com c=y/2 e d=x-y/2, e achamos
(x,y)\in V_{2}+U,
logo V_{2}+U=\mathbb{R}^{2}.

Passo 5

Como V_{1}+U=\mathbb{R}^{2}=V_{2}+U mas V_{1}\neq V_{2}, temos um contraexemplo que mostra que a igualdade das somas não implica V_{1}=V_{2}.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contraexemplo em \mathbb{R}^{2} é
U=\operatorname{span}\{(1,0)\},\quad V_{1}=\operatorname{span}\{(1,1)\},\quad V_{2}=\operatorname{span}\{(1,2)\},
pois V_{1}+U=V_{2}+U=\mathbb{R}^{2} mas V_{1}\neq V_{2}.

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