Verifique se o vetor ( 4,7,-1 ) é combinação linear dos vetores ( 1,0,1 ), ( 1,2,1 ) e ( 0,1,1 )? Por que?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor (4,7,-1) é combinação linear dos vetores (1,0,1), (1,2,1) e (0,1,1). O conteúdo é “combinação linear em \mathbb{R}^3”: precisamos encontrar escalares \alpha, \beta, \gamma tais que
\alpha(1,0,1)+\beta(1,2,1)+\gamma(0,1,1)=(4,7,-1).

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha + \beta = 4,\\\\ 2\beta + \gamma = 7,\\\ \alpha + \beta + \gamma = -1. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação vem \alpha = 4 - \beta. Substituindo em \alpha + \beta + \gamma = -1
(4-\beta)+\beta+\gamma=-1 \quad\Longrightarrow\quad \gamma=-5.
Agora, em 2\beta+\gamma=7 substituímos \gamma=-5:
2\beta-5=7 \quad\Longrightarrow\quad \beta=6.
Finalmente, \alpha=4-\beta=4-6=-2.

Passo 4

Encontramos \alpha=-2, \beta=6, \gamma=-5, logo há uma combinação linear que gera (4,7,-1). Alternativamente, como os três vetores dados têm determinante não nulo, eles são base de \mathbb{R}^3 e, portanto, geram todo o espaço.

Resposta

Sim, pois
-2\,(1,0,1)+6\,(1,2,1)-5\,(0,1,1)=(4,7,-1).

Exercícios relacionados