Verifique se o vetor ( 4,7,-1 ) é combinação linear dos vetores ( 1,0,1 ), ( 1,2,1 ) e ( 0,1,1 )? Por que?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se (4,7,-1) está no span dos vetores (1,0,1), (1,2,1) e (0,1,1). O conteúdo é combinação linear em \mathbb R^3: precisamos achar escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha\,(1,0,1)+\beta\,(1,2,1)+\gamma\,(0,1,1)=(4,7,-1).

Passo 2

Igualando componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta=4,\\\\ 2\beta+\gamma=7,\\\ \alpha+\beta+\gamma=-1. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação vem \alpha=4-\beta. Substituindo na terceira:
(4-\beta)+\beta+\gamma=-1\implies4+\gamma=-1\implies\gamma=-5.
Com \gamma=-5 na segunda:
2\beta-5=7\implies2\beta=12\implies\beta=6.
Logo \alpha=4-6=-2.

Passo 4

Como encontramos \alpha=-2, \beta=6, \gamma=-5, existe combinação linear. Em outras palavras,
-2\,(1,0,1)+6\,(1,2,1)-5\,(0,1,1)=(4,7,-1).

Resposta

Sim. Os coeficientes são \alpha=-2, \beta=6 e \gamma=-5, logo
-2\,(1,0,1)+6\,(1,2,1)-5\,(0,1,1)=(4,7,-1).

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