Exercício 2) Considere a curva
, tal que
,
, e
. São pedidos:
a) Ache as equações cartesianas das curvas
e
;
b) Desenhe, em um mesmo sistema de coordenadas, as curvas
e
, que formam a curva
, indicando suas orientações;
c) Descreva, analiticamente, um conjunto limitado
tal que
;
d) Calcule a integral da forma diferencial
sobre a curva
, sendo
e
.
a) Ache as equações cartesianas das curvas
b) Desenhe, em um mesmo sistema de coordenadas, as curvas
c) Descreva, analiticamente, um conjunto limitado
d) Calcule a integral da forma diferencial
Passo 1
O enunciado define a curva
por parametrizações e pede:
a) as equações cartesianas de cada ramo;
b) o esboço conjunto com as orientações;
c) um conjunto limitado com
;
d) o valor da integral de linha
a) as equações cartesianas de cada ramo;
b) o esboço conjunto com as orientações;
c) um conjunto limitado
d) o valor da integral de linha
com
Vamos usar geometria analítica para (a–c) e, em (d), o Teorema de Green.
Passo 2
(a) Eliminar o parâmetro em cada ramo:
–
,
.
Definindo , então
Definindo
com
variando de
(em
) até
(em
).
–
,
.
Aqui e
, logo
Aqui
com
indo de
(em
) até
(em
).
–
,
.
É parte do círculo unitário:
É parte do círculo unitário:
com
indo de
até
percorrendo o arco inferior direito.
–
,
.
Aqui
Aqui
com
subindo até
.
Passo 3
(b) Esboço e orientação:
– é o arco da parábola
para
, orientado de
para
.
– é o segmento vertical em
de
descendo a
.
– é o arco do círculo
de
até
, no sentido horário.
– é o segmento vertical em
de
subindo a
.
Juntos fecham uma região simples.
–
–
–
–
Juntos fecham uma região simples.
Passo 4
(c) A região
limitada por
pode ser descrita como
À esquerda está o arco circular
, acima a parábola
, e nas bordas verticais
e
.
Passo 5
(d) Pelo Teorema de Green,
Calculamos
então
Logo
Separamos
Resposta
a)
;
;
com
;
.
b) Veja descrição no Passo 3: parábola de
, segmento em
descendo, arco circular de
e segmento em
subindo.
c)
d)