Questão 02. ( 3,0 pontos) Encontre a série de Taylor das funções abaixo indicando o raio de convergência dos itens a) e b) somente.
c) ( 1,0 ponto) Os 4 primeiros termos da série de Taylor da função x \ln (x) em torno de x=1

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros termos da série de Taylor da função f(x)=x\ln(x) em torno de x=1. O conteúdo aqui é expansão em série de potências (Taylor) usando a expansão conhecida de \ln(1+h).

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
h = x - 1,
de modo que
f(x) = f(1+h) = (1+h)\,\ln(1+h).

Passo 3

Usamos a expansão de Taylor para \ln(1+h), válida para |h|<1:
\ln(1+h) = h - \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{3} - \frac{h^4}{4} + \cdots.

Passo 4

Multiplicamos (1+h) pela série de \ln(1+h) e coletamos até o termo de ordem h^4:
(1+h)\Bigl(h - \tfrac{h^2}{2} + \tfrac{h^3}{3} - \tfrac{h^4}{4} + \cdots\Bigr) = h + \frac{h^2}{2} - \frac{h^3}{6} + \frac{h^4}{12} + \cdots.

Passo 5

Voltando a x, temos h=x-1 e os quatro primeiros termos da série de Taylor são
x\ln(x)= (x-1)+\frac{1}{2}(x-1)^2 - \frac{1}{6}(x-1)^3 + \frac{1}{12}(x-1)^4 + \cdots.

Resposta

x\ln(x)= (x-1)+\frac{1}{2}(x-1)^2 - \frac{1}{6}(x-1)^3 + \frac{1}{12}(x-1)^4 + \cdots.

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